Question

如圖，在?ABCD中，AB=4，AD=6，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為G，BG=．
（1）求AE的長(zhǎng)；　
（2）求△CEF的周長(zhǎng)和面積．

Answer 1

解：（1）∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE；
又∵AD∥BC，
∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，
∴AB=BE=4，
∵BG⊥AE，垂足為G，
∴AE=2AG．
在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=4，BG=2，
∴AG==2，
∴AE=2AG=4；

（2）∵BE=4，BC=AD=6，
∴CE=BC-BE=6-4=2，
∴BE：CE=4：2=2：1．
∵AB∥FC，
∴△ABE∽△FCE，
∴△ABE的周長(zhǎng)：△CEF的周長(zhǎng)=BE：CE=2：1，
△ABE的面積：△CEF的面積=（BE：CE）²=4：1，
∵AB=BE=4，AE=4，BG=2，
∴△ABE的周長(zhǎng)=4+4+4=12，△ABE的面積=×4×2=4，
∴△CEF的周長(zhǎng)=6，△CEF的面積=．
分析：（1）由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得內(nèi)錯(cuò)角∠DAE=∠BEA，等量代換后可證得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的長(zhǎng)；
（2）首先證明△ABE∽△FCE，再分別求出△ABE的周長(zhǎng)和面積，然后根據(jù)相似比等于周長(zhǎng)比，面積比等于相似比的平方即可得到答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)的掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想的考查，難度適中．