Question

19．已知在關(guān)于x的分式方程$\frac{k-1}{x-1}=2$①和一元二次方程（2-k）x²+3mx+（3-k）n=0②中，k、m、n均為實(shí)數(shù)，方程①的根為非負(fù)數(shù)．
（1）求k的取值范圍；
（2）當(dāng)方程②有兩個(gè)整數(shù)根x₁、x₂，k為整數(shù)，且k=m+2，n=1時(shí)，求方程②的整數(shù)根；
（3）當(dāng)方程②有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁、x₂，滿足x₁（x₁-k）+x₂（x₂-k）=（x₁-k）（x₂-k），且k為負(fù)整數(shù)時(shí)，試判斷|m|≤2是否成立？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先解出分式方程①的解，根據(jù)分式的意義和方程①的根為非負(fù)數(shù)得出k的取值；
（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化簡(jiǎn)，由方程②有兩個(gè)整數(shù)實(shí)根得△是完全平方數(shù)，列等式得出關(guān)于m的等式，由根與系數(shù)的關(guān)系和兩個(gè)整數(shù)根x₁、x₂得出m=1和-1，再根據(jù)方程有兩個(gè)整數(shù)根得△＞0，得出m＞0或m＜-$\frac{4}{5}$，符合題意，分別把m=1和-1代入方程后解出即可．
（3）根據(jù)（1）中k的取值和k為負(fù)整數(shù)得出k=-1，化簡(jiǎn)已知所給的等式，并將兩根和與積代入計(jì)算得出m的等式，并由根的判別式組成兩式可做出判斷．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的分式方程$\frac{k-1}{x-1}=2$的根為非負(fù)數(shù)，
∴x≥0且x≠1，
又∵x=$\frac{k+1}{2}$≥0，且$\frac{k+1}{2}$≠1，
∴解得k≥-1且k≠1，
又∵一元二次方程（2-k）x²+3mx+（3-k）n=0中2-k≠0，
∴k≠2，
綜上可得：k≥-1且k≠1且k≠2；

（2）∵一元二次方程（2-k）x²+3mx+（3-k）n=0有兩個(gè)整數(shù)根x₁、x₂，且k=m+2，n=1時(shí)，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：-mx²+3mx+（1-m）=0，即：mx²-3mx+m-1=0，
∴△＞0，即△=（-3m）²-4m（m-1），且m≠0，
∴△=9m²-4m（m-1）=m（5m+4）＞0，
則m＞0或m＜-$\frac{4}{5}$；
∵x₁、x₂是整數(shù)，k、m都是整數(shù)，
∵x₁+x₂=3，x₁•x₂=$\frac{m-1}{m}$=1-$\frac{1}{m}$，
∴1-$\frac{1}{m}$為整數(shù)，
∴m=1或-1，
由（1）知k≠1，則m+2≠1，m≠-1
∴把m=1代入方程mx²-3mx+m-1=0得：x²-3x+1-1=0，
x²-3x=0，
x（x-3）=0，
x₁=0，x₂=3；

（3）|m|≤2成立，理由是：
由（1）知：k≥-1且k≠1且k≠2，
∵k是負(fù)整數(shù)，
∴k=-1，
（2-k）x²+3mx+（3-k）n=0且方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-$\frac{3m}{2-k}$=$\frac{3m}{k-2}$=-m，x₁x₂=$\frac{（3-k）n}{2-k}$=$\frac{4}{3}$n，
x₁（x₁-k）+x₂（x₂-k）=（x₁-k）（x₂-k），
x₁²-x₁k+x₂²-x₂k=x₁x₂-x₁k-x₂k+k²，
x₁²+x₂²═x₁x₂+k²，
（x₁+x₂）²-2x₁x₂-x₁x₂=k²，
（x₁+x₂）²-3x₁x₂=k²，
（-m）²-3×$\frac{4}{3}$n=（-1）²，
m²-4n=1，n=$\frac{{m}^{2}-1}{4}$①，
△=（3m）²-4（2-k）（3-k）n=9m²-48n≥0②，
把①代入②得：9m²-48×$\frac{{m}^{2}-1}{4}$≥0，
m²≤4，
則|m|≤2，
∴|m|≤2成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了根的判別式及分式方程的解；注意：①解分式方程時(shí)分母不能為0；②一元二次方程有兩個(gè)整數(shù)根時(shí)，根的判別式△為完全平方數(shù)．