Question

10．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD為⊙O的直徑，交BC于點(diǎn)E，若DE=3，OE=4，則tanB•tanC=（　�。�

• A． .$\frac{7}{3}$
• B． .$\frac{7}{4}$
• C． .$\frac{11}{4}$
• D． $\frac{11}{3}$

Answer 1

分析 連接BD、CD，由DE=3，OE=4可知AO=OD=OE+ED=7，可得AE=11，連接BD、CD，可證∠B=∠ADC，∠C=∠ADB，∠DBA=∠DCA=90°，將tanC，tanB在直角三角形中用線段的比表示，再利用相似轉(zhuǎn)化為已知線段$\frac{AE}{DE}$的比

解答 解：連接BD、CD，
由圓周角定理可知∠B=∠ADC，∠C=∠ADB，
∴△ABE∽△CDE，△ACE∽△BDE，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{BE}{DE}$，$\frac{AC}{BD}$=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{CE}{DE}$，
由AD為直徑可知∠DBA=∠DCA=90°，
∵DE=3，OE=4，
∴AO=OD=OE+ED=7，AE=11，
tanC•tanB=tan∠ADB•tan∠ADC=$\frac{AB}{BD}$•$\frac{AC}{CD}$=$\frac{AB}{CD}$•$\frac{AC}{BD}$=$\frac{AE}{CE}$•$\frac{CE}{DE}$=$\frac{AE}{DE}$=$\frac{11}{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形的外接圓和外心、解直角三角形的知識(shí)，掌握?qǐng)A周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．