Question

如圖，已知在△ABC中，BC=6，∠B=45°，cotC=

1

2

．
（1）求△ABC的面積；
（2）如果⊙A與以BC為直徑的⊙0相切，求⊙A的半徑．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）如圖，過點A作AD⊥BC于點D．構(gòu)建等腰直角三角形ABD和直角△ACD．利用等腰直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義求得AD=BD=4，CD=2，則易求△ABC的面積；
（2）如圖，連接兩圓圓心OA．設(shè)兩圓相切于點E．在直角△AOD中利用勾股定理可以求得AO的長度，則AE=AO-OE=AO-

1

2

BC．或AE=AO+OE．

解答：解：（1）如圖，過點A作AD⊥BC于點D．
∵在△ABC中，∠B=45°，
∴∠BAD=∠B=45°，
∴BD=AD．
∵cotC=

1

2

，
∴

CD

AD

=

CD

BD

=

1

2

，
∵BC=BD+CD=6，
∴AD=BD=4，CD=2，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×6×4=12，即△ABC的面積是12；

（2）設(shè)兩圓相切于點E．
如圖1，連接兩圓圓心OA．
由（1）知，CD=2，AD=4．
∵OC=

1

2

BC=3，
∴OD=3-2=1，
∴在直角△AOD中，根據(jù)勾股定理知，AO=

OD2+AD2

=

42+12

=

17

，
∴AE=AO-OE=

17

-3，即⊙A的半徑是

17

-3．
如圖2，連接AE．
則⊙A的半徑=AO+OE=

17

+3．
綜上所述，⊙O的半徑是

17

-3，或

17

+3．

點評：本題考查了勾股定理，相切兩圓的性質(zhì)．相切兩圓的圓心距等于兩圓半徑之和．