【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=﹣x2+2mx﹣m2+1的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=1.

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)點(diǎn)D(n,y1),E(3,y2)在拋物線上,若y1<y2,請(qǐng)直接寫(xiě)出n的取值范圍;

(3)設(shè)點(diǎn)M(p,q)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)﹣1<p<2時(shí),點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在直線y=kx﹣4的上方,求k的取值范圍.

【答案】(1)y=﹣x2+2x.(2)當(dāng)n<﹣1或n>3時(shí),y1<y2(3)見(jiàn)解析

【解析】

試題分析:(1)由拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程可求得m=1,從而可求得拋物線的表達(dá)式;

(2)將x=3代入拋物線的解析式,可求得y2=3,將y=3代入拋物線的解析式可求得x1=﹣1,x2=3,由拋物線的開(kāi)口向下,可知當(dāng)當(dāng)n<﹣1或n>3時(shí),y1<y2;

(3)先根據(jù)題意畫(huà)出點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′的軌跡,然后根據(jù)點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在直線y=kx﹣4的上方,列出關(guān)于k的不等式組即可求得k的取值范圍.

解:(1)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1,

x==﹣=1.

解得:m=1.

拋物線的解析式為y=﹣x2+2x.

(2)將x=3代入拋物線的解析式得y=﹣32+2×3=﹣3.

將y=﹣3代入得:﹣x2+2x=﹣3.

解得:x1=﹣1,x2=3.

a=﹣1<0,

當(dāng)n<﹣1或n>3時(shí),y1<y2

(3)設(shè)點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M′,則點(diǎn)M′運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示:

當(dāng)P=﹣1時(shí),q=﹣(﹣1)2+2×(﹣1)=﹣3.

點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M1′的坐標(biāo)為(1,﹣3).

當(dāng)P=2時(shí),q=﹣22+2×2=0,

點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M2′的坐標(biāo)為(﹣2,0).

①當(dāng)k<0時(shí),

點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在直線y=kx﹣4的上方,

﹣2k﹣4≤0.

解得:k≥﹣2.

②當(dāng)k>0時(shí),

點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在直線y=kx﹣4的上方,

k﹣4≤﹣3.

解得;k≤1.

k的取值范圍是﹣2≤k≤1.

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