Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，∠DAC的角平分線交DC于點(diǎn)E，點(diǎn)P、Q分別是邊AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)（兩動(dòng)點(diǎn)不重合）．

（1）PQ+DQ的最小值是　 　．

（2）說(shuō)出PQ+DQ取得最小值時(shí)，點(diǎn)P、Q的位置，并在圖中畫出；

（3）請(qǐng)對(duì)（2）中你所給的結(jié)論進(jìn)行證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）畫圖見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】解：（１）；…………………………………………………………２分

（２）如圖４，過(guò)點(diǎn)Ｄ作ＤＦ⊥ＡＣ，垂足為Ｆ，………………………３分

ＤＦ與ＡＥ的交點(diǎn)即為點(diǎn)Ｑ；………………………………………………４分

過(guò)點(diǎn)Ｑ作ＱＰ⊥ＡＤ，垂足即為點(diǎn)Ｐ；……………………………………５分

（３）由（２）知，ＤＦ為等腰Ｒt△ＡＤＣ底邊上的高，

∴ＤＦ＝ＡＤ·sin４５°＝４×＝．…………………………６分

∵ＡＥ平分∠ＤＡＣ，Ｑ為ＡＥ上的點(diǎn)，

且ＱＦ⊥ＡＣ于點(diǎn)Ｆ，ＱＰ⊥ＡＤ于點(diǎn)Ｐ，

∴ＱＰ＝ＱＦ（角平分線性質(zhì)定理），……………………………………７分

∴ＰＱ＋ＤＱ＝ＦＱ＋ＤＱ＝ＤＦ＝．

下面證明此時(shí)的ＰＱ＋ＤＱ為最小值：

在ＡＥ上取異于Ｑ的另一點(diǎn)Ｑ１（圖5）．…………………………………９分

①過(guò)Ｑ１點(diǎn)作Ｑ１Ｆ１⊥ＡＣ于點(diǎn)Ｆ１，………………………………………１０分

過(guò)Ｑ１點(diǎn)作Ｑ１Ｐ１⊥ＡＤ于點(diǎn)Ｐ１，…………………………………………１１分

則Ｐ１Ｑ１＋ＤＱ１＝Ｆ１Ｑ１＋ＤＱ１，

由“一點(diǎn)到一條直線的距離”，可知，垂線段最短，

∴得Ｆ１Ｑ１＋ＤＱ１＞ＦＱ＋ＤＱ，

即Ｐ１Ｑ１＋ＤＱ１＞ＰＱ＋ＤＱ．…………………………………………１２分

②若Ｐ２是ＡＤ上異于Ｐ１的任一點(diǎn)，………………………………………１３分

可知斜線段Ｐ２Ｑ１＞垂線段Ｐ１Ｑ１，………………………………………１４分

∴Ｐ２Ｑ１＋ＤＱ１＞Ｐ１Ｑ１＋ＤＱ１＞ＰＱ＋ＤＱ．

從而可得此處ＰＱ＋ＤＱ的值最小．

此題考核正方形的性質(zhì)，利用垂線段最短求證最小值