Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD =90°，AC是對(duì)角線(xiàn)．點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且∠CED =∠BAC．

（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）BA與CD的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，若DE∥AC，AB=4，AD =2，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）DE與⊙O相切，證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）連接BD，先根據(jù)圓周角定理證明BD是⊙O的直徑，證明∠BDC+∠CDE=90°，即BD⊥DE，即可得出DE與⊙O相切；

（2）先根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠BHC=∠BDE=90°，由垂徑定理得AH=CH，由垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得BC=AB=4，CD=AD=2，證明△FAD∽△FCB，列比例式得CF=2AF，設(shè)AF=x，則DF=CF-CD=2x-2，根據(jù)勾股定理列方程可解答．

解：（1）DE與⊙O相切，

理由是：連接BD，如下圖，

∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD=90°，
∴BD是⊙O的直徑，即點(diǎn)O在BD上，
∴∠BCD=90°，
∴∠CED+∠CDE=90°．
∵∠CED=∠BAC，
又∵∠BAC=∠BDC，

∴∠CED=∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE=90°，即∠BDE=90°，
∴DE⊥BD于點(diǎn)D，
∴DE與⊙O相切．

（2）如下圖，BD與AC交于點(diǎn)H，

∵DE∥AC，
∴∠BHC=∠BDE=90°．
∴BD⊥AC．
∴AH=CH．
∴BC=AB=4，CD=AD=2．
∵∠FAD=∠FCB=90°，∠F=∠F，
∴△FAD∽△FCB，

，

∴CF=2AF，

設(shè)AF=x，則DF=CF-CD=2x-2．
在Rt△ADF中，DF2=AD2+AF2，
∴（2x-2）2=22+x2．

解得： （舍去），

．