Question

3．如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，正方形OEFG的一邊OG經(jīng)過點D，且D是OG的中點，OG=$\sqrt{2}$AB，若正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)α角，（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，當α=30或150度時，∠OAG′=90°．

Answer 1

分析 根據(jù)題意和銳角正弦的概念以及特殊角的三角函數(shù)值得到∠AG′O=30°，分兩種情況求出α的度數(shù)．

解答 解：當α為銳角時，如圖1所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=AB，∠ABC=90°，OA=OD=$\frac{1}{2}$AC，
∴AC=$\sqrt{2}$AB，
∵OG=$\sqrt{2}$AB，
∴OG′=OG=AC=2AO，
∵∠OAG′=90°，OA=$\frac{1}{2}$OG′，
∴∠AG′O=30°，
∴∠AOG′=60°，
∴∠DOG′=90°-60°=30°，
即α=30°；
當旋轉(zhuǎn)到如圖2所示位置，同理證得∠AG′O=30°，
∴∠AOG′=60°，
∴α=90°+60°=150°，
綜上所述：α的度數(shù)為30°或150°，
故答案為：30°或150°．

點評 本題考查的是正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，掌握正方形的四條邊相等、四個角相等，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意特殊角的三角函數(shù)值的應用．