【題目】如圖,頂點(diǎn)為M的拋物線y=a(x+1)2﹣4分別與x軸相交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),與y軸相交于點(diǎn)C(0,﹣3).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)判斷△BCM是否為直角三角形,并說明理由.
(3)拋物線上是否存在點(diǎn)N(點(diǎn)N與點(diǎn)M不重合),使得以點(diǎn)A,B,C,N為頂點(diǎn)的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)

解:∵拋物線y=a(x+1)2﹣4與y軸相交于點(diǎn)C(0,﹣3).

∴﹣3=a﹣4,

∴a=1,

∴拋物線解析式為y=(x+1)2﹣4=x2+2x﹣3


(2)

解:△BCM是直角三角形

理由:由(1)有,拋物線解析式為y=(x+1)2﹣4,

∵頂點(diǎn)為M的拋物線y=a(x+1)2﹣4,

∴M(﹣1,﹣4),

由(1)拋物線解析式為y=x2+2x﹣3,

令y=0,

∴x2+2x﹣3=0,

∴x1=﹣3,x2=1,

∴A(1,0),B(﹣3,0),

∴BC2=9+9=18,CM2=1+1=2,BM2=4+14=20,

∴BC2+CM2=BM2,

∴△BCM是直角三角形


(3)

解:存在,N(﹣1+ , )或N(﹣1﹣ , ),

∵以點(diǎn)A,B,C,N為頂點(diǎn)的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等,且點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn),

∴①點(diǎn)N在x軸上方的拋物線上,

如圖,

由(2)有△BCM是直角三角形,BC2=18,CM2=2,

∴BC=3 ,CM=

∴SBCM= BC×CM= ×3 × =3,

設(shè)N(m,n),

∵以點(diǎn)A,B,C,N為頂點(diǎn)的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等,

∴SABN+SABC=SBCM+SABC,

∴SABN=SBCM=3,

∵A(1,0),B(﹣3,0),

∴AB=4,

∴SABN= ×AB×n= ×4×n=2n=3,

∴n= ,

∵N在拋物線解析式為y=x2+2x﹣3的圖象上,

∴m2+2m﹣3= ,

∴m1=﹣1+ ,m2=﹣1﹣ ,

∴N(﹣1+ , )或N(﹣1﹣ , ).

②如圖2,

②點(diǎn)N在x軸下方的拋物線上,

∵點(diǎn)C在對(duì)稱軸的右側(cè),

∴點(diǎn)N在對(duì)稱軸右側(cè)不存在,只有在對(duì)稱軸的左側(cè),

過點(diǎn)M作MN∥BC,交拋物線于點(diǎn)N,

∵B(﹣3,0),C(0,﹣3),

∴直線BC解析式為y=﹣x﹣3,

設(shè)MN的解析式為y=﹣x+b

∵拋物線解析式為y=(x+1)2﹣4①,

∴M(﹣1,﹣4),

∴直線MN解析式為y=﹣x﹣5②,

聯(lián)立①②得 (舍),

∴N(﹣2,﹣3),

即:N(﹣1+ , )或N(﹣1﹣ , )或N(﹣2,﹣3)


【解析】(1)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可;(2)由拋物線解析式確定出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),用勾股定理的逆定理即可;(3)根據(jù)題意判斷出點(diǎn)N只能在x軸上方的拋物線上,由已知四邊形的面積相等轉(zhuǎn)化出SABN=SBCM , 然后求出三角形BCM的面積,再建立關(guān)于點(diǎn)N的坐標(biāo)的方程求解即可.

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