Question

1．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)P在AB邊上，點(diǎn)D在射線CB上，PC=PD．
（1）當(dāng)∠A=45°（如圖1）時(shí)，求證：BD=AC-$\sqrt{2}$AP；
（2）當(dāng)∠A=60°（如圖2）時(shí)，線段BD、AC、AP之間的數(shù)量關(guān)系為BD=$\sqrt{3}$AC-$\sqrt{3}$AP；
（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)B作PD的垂線，垂足為M，交PC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，若BD=3，△ACP的面積為$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，求線段MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）P作E⊥C，PF⊥BC垂足分別為E、F（如圖1），先證明CD=$\sqrt{2}$AP，然后利用BD=BC-CD即可解決．
（2）分兩步證明①CD=$\sqrt{3}$AP，②BC=$\sqrt{3}$AC，利用BD=BC-CD即可證得．
（3）根據(jù)AC-AP=$\sqrt{3}$和AC•AP=18求得AC，AP，再求出PH，PM，CH利用$\frac{CH}{MN}=\frac{PH}{PM}$即可求解．

解答 （1）證明：如圖1，作PE⊥C，PF⊥BC垂足分別為E、F．
∵∠A=45°，∠AEP=∠ACB=90°，
∴∠EPA=∠B=∠A=45°，
∴EA=EP，CA=AB，AP=$\sqrt{2}$PE，
∵∠PEC=∠ECF=∠CFP=90°，
∴四邊形PFCE是矩形，
∴PE=CF，
∵PC=PD，PF⊥CD，
∴CF=FD=PE，CD=2PE=$\sqrt{2}$AP，
∴BD=BC-CD=AC-$\sqrt{2}$AP．
（2）結(jié)論：BD=$\sqrt{3}$AC-$\sqrt{3}$AP，理由如下：
如圖2，作PE⊥C，PF⊥BC垂足分別為E、F．
∵∠A=60°，∠AEP=90°，
∴∠EPA=∠B=30°，
∴PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AP，BC=$\sqrt{3}$AC
∵∠PEC=∠ECF=∠CFP=90°，
∴四邊形PFCE是矩形，
∴PE=CF，
∵PC=PD，PF⊥CD，
∴CF=FD=PE，CD=2PE=$\sqrt{3}$AP，
∴BD=BC-CD=$\sqrt{3}$AC-$\sqrt{3}$AP．
故答案為BD=$\sqrt{3}$AC-$\sqrt{3}$AP．
（3）如圖3，作DG⊥AB，CH⊥PD垂足分別為G、H．
∵BD=$\sqrt{3}$AC-$\sqrt{3}$AP=3，
∴AC-AP=$\sqrt{3}$    ①
∵△APC面積為$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$•AC•$\frac{\sqrt{3}}{2}$AP=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴AC•AP=18     ②
由①②得AC=3$\sqrt{3}$，AP=2$\sqrt{3}$，
∴PE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AP=3，AE=$\sqrt{3}$，EC=2$\sqrt{3}$，CD=2PE=6，PC=$\sqrt{E{C}^{2}+P{E}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
在RT△BDG中，∵BD=3，∠DBG=30°，
∴DG=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{3}{2}$，BG=$\sqrt{3}$DG=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵AB=2AC=6$\sqrt{3}$，
∴PG=AB-AP-BG=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∵cos∠BPM=$\frac{PG}{PD}=\frac{PM}{PB}$，
∴$\frac{\frac{5\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{21}}=\frac{PM}{4\sqrt{3}}$，
∴PM=$\frac{10\sqrt{21}}{7}$，
在△PCD中，∵$\frac{1}{2}$CD•PF=$\frac{1}{2}$•PD•CH，
∴CH=$\frac{CD•PF}{PD}$=$\frac{12\sqrt{7}}{7}$，
∴PH=$\sqrt{P{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∵CH∥MN，
∴$\frac{CH}{MN}=\frac{PH}{PM}$，
∴$\frac{\frac{12\sqrt{7}}{7}}{MN}=\frac{\frac{\sqrt{21}}{7}}{\frac{10\sqrt{21}}{7}}$，
∴MN=$\frac{120\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、特殊三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)、勾股定理、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，添加常用輔助線是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)用方程的思想去思考問(wèn)題，第三個(gè)問(wèn)題有點(diǎn)難度，計(jì)算量比較大．