Question

已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A（2，0）、C（0，12）兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線x=4．設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．
（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）如圖1，在直線 y=2x上是否存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖2，點(diǎn)M是線段OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（O、P兩點(diǎn)除外），以每秒個(gè)單位長度的速度由點(diǎn)P向點(diǎn)O 運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作直線MN∥x軸，交PB于點(diǎn)N．將△PMN沿直線MN對(duì)折，得到△P₁MN．在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)△P₁MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用對(duì)稱軸公式，A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，列方程組求a、b、c的值即可；
（2）存在．由（1）可求直線PB解析式為y=2x-12，可知PB∥OD，利用BD=PO，列方程求解，注意排除平行四邊形的情形；
（3）由P（4，-4）可知直線OP解析式為y=-x，當(dāng)P₁落在x軸上時(shí)，M、N的縱坐標(biāo)為-2，此時(shí)t=2，按照0＜t≤2，2＜t＜4兩種情形，分別表示重合部分面積．
解答：解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c
由題意得，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²-8x+12，（2分）
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-4）；（3分）

（2）存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形．理由如下：
當(dāng)y=0時(shí)，x²-8x+12=0，
∴x₁=2，x₂=6，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），
設(shè)直線BP的解析式為y=kx+m
則，
解得
∴直線BP的解析式為y=2x-12
∴直線OD∥BP（4分）
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)P（4，-4）∴OP=4
設(shè)D（x，2x）則BD²=（2x）²+（6-x）²
當(dāng)BD=OP時(shí)，（2x）²+（6-x）²=32，
解得：x₁=，x₂=2，（6分）
當(dāng)x₂=2時(shí)，OD=BP=，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去，
∴當(dāng)x=時(shí)四邊形OPBD為等腰梯形，（7分）
∴當(dāng)D（，）時(shí)，四邊形OPBD為等腰梯形；（8分）

（3）①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，
∵運(yùn)動(dòng)速度為每秒個(gè)單位長度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則MP=t，
∴PH=t，MH=t，HN=t，
∴MN=MH+HN=t，
∴S=t•t•=t²（10分），
②當(dāng)2＜t＜4時(shí)，P₁G=2t-4，P₁H=t，
∵M(jìn)N∥OB∴△P₁EF∽△P₁MN，
∴，
∴，
∴=3t²-12t+12，
∴S=t²-（3t²-12t+12）=-t²+12t-12，
∴當(dāng)0＜t≤2時(shí)，S=t²，
當(dāng)2＜t＜4時(shí)，S=-t²+12t-12．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．求出二次函數(shù)解析式，研究二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及相關(guān)圖形的特點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．