Question

6．已知：如圖，在△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，以點(diǎn)D為圓心，CD為半徑作半圓，分別與邊AC、BC相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F．如果AB=AC=5，cosB=$\frac{4}{5}$，AE=1．求：
（1）線段CD的長(zhǎng)度；
（2）點(diǎn)A和點(diǎn)F之間的距離．

Answer 1

分析 （1）連接EF，利用圓周角定理得出∠FEC=90°，再利用等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合銳角三角函數(shù)得出答案；
（2）利用銳角三角函數(shù)得出NC的長(zhǎng)，再利用勾股定理得出答案．

解答 解：（1）連接EF，
∵由題意可得FC是⊙D的直徑，
∴∠FEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AB=AC=5，cosB=$\frac{4}{5}$，AE=1，
∴EC=4，cosB=cos∠ACB=$\frac{4}{5}$=$\frac{EC}{FC}$=$\frac{4}{FC}$，
解得：FC=5，
則DC=2.5；

（2）連接AF，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC于點(diǎn)N，
∵AB=5，cosB=$\frac{4}{5}$，
∴BN=4，
∴AN=3，
∵cosC=cosB=$\frac{4}{5}$，
∴NC=4，
∴FN=1，
∴AF=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了圓周角定理以及勾股定理和銳角三角函數(shù)等知識(shí)，正確應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．