Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，半徑為1的與軸正半軸和軸正半軸分別交于兩點，直線：與軸和軸分別交于兩點．

（l）當直線與相切時，求出點的坐標和點的坐標；

（2）如圖2，當點在線段上時，直線與交于兩點（點在點的上方），過點作軸，與交于另一點，連結交軸于點．

①如圖3，若點與點重合時，求的長并寫出解答過程；

②如圖2，若點與點不重合時，的長是否發(fā)生變化，若不發(fā)生變化，請求出的長并寫出解答過程；若發(fā)生變化，請說明理由．

（3）如圖4，在（2）的基礎上，連結，將線段繞點逆時針旋轉到，若點在的延長線時，請用等式直接表示線段，之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）點和點的坐標是，；（2）①；②不發(fā)生變化，的長為，理由詳見解析；（3），理由詳見解析

【解析】

（1）由已知可得點M坐標及點在原點的右側，設直線與相切于點，連結，則，易證，根據相似三角形的性質即可求出OP的值，從而得出點P的坐標；

（2）①由點與點重合得出，易證，根據相似三角形的性質即可求出OD的值；

②過點作的直徑，連結，，根據同角的余角相等及等邊對等角可得，最后根據相似三角形的性質即可求出OD的值；

（3）在（2）的基礎上有可直接使用，由旋轉聯想到構造三垂直全等模型，作QR軸，即能用F的坐標表示QR、BR等線段長度，又由得相似，對應邊的比相等得到用F坐標表示的等式，利用F在上化簡式子，并代入求,即能得到與的長度關系．

解：（1）如圖1，

∵與軸交于點，

∴當時，，

∴點的坐標為

∵與軸交于點，

∴點在原點的右側．

設直線與相切于點，連結，則．

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴點和點的坐標是，

（2）①如圖2，

∵點與點重合，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴

②不發(fā)生變化，的長為，理由如下：

過點作的直徑，連結，，

∴

∵軸，

∴軸，

∴

∵，

∴．

∵，

∴，

∴

∵，

∴，

∴，

∴，

∴

（3）

過點Q作QR軸與R，設CF與軸交點為S

線段BF繞點B逆時針旋轉到BQ

,BQ=BF,

即是等腰直角三角形

在和中

設，

則

在（2）的基礎上有

,C、D、Q在同一直線上

整理得：

點在上，滿足

代入整理得：

，