Question

3．如圖，AB∥EF∥DC，AB=20，CD=80，
（1）求EF的長；
（2）設(shè)AB=a，CD=b，求EF的長；
（3）求證：$\frac{1}{{S}_{△ABC}}$+$\frac{1}{{S}_{△DBC}}$=$\frac{1}{{S}_{△EBC}}$．

Answer 1

分析 （1）先由EF∥AB判斷△CEF∽△CAB，利用相似三角形的性質(zhì)得$\frac{EF}{AB}$=$\frac{CF}{CB}$①，再證明△BEF∽△BDC得到$\frac{EF}{CD}$=$\frac{BF}{BC}$②，把兩式相加后利用比例的性質(zhì)即可得到$\frac{1}{EF}$=$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$，然后把AB和CD的值代入計算即可；
（2）利用（1）的結(jié)論易得EF的長；
（3）作AH⊥BC于H，EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，如圖，與（1）的方法一樣可得$\frac{1}{EM}$=$\frac{1}{AH}$+$\frac{1}{DN}$，然后利用等式的性質(zhì)變形得到$\frac{1}{\frac{1}{2}BC•EM}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}BC•AH}$+$\frac{1}{\frac{1}{2}BC•DN}$，從而根據(jù)三角形面積公式即可得到結(jié)論．

解答 （1）解：∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{CF}{CB}$①，
∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BDC，
∴$\frac{EF}{CD}$=$\frac{BF}{BC}$②，
①+②得$\frac{EF}{AB}$+$\frac{EF}{CD}$=1，
∴$\frac{1}{EF}$=$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$=$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{80}$，
∴EF=16；
（2）解：由（1）得$\frac{1}{EF}$=$\frac{1}{AB}$+$\frac{1}{CD}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$，
則EF=$\frac{ab}{a+b}$；
（3）證明：作AH⊥BC于H，EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，如圖，
與（1）的方法一樣可得$\frac{1}{EM}$=$\frac{1}{AH}$+$\frac{1}{DN}$，
∴$\frac{1}{\frac{1}{2}BC•EM}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}BC•AH}$+$\frac{1}{\frac{1}{2}BC•DN}$，
即：$\frac{1}{{S}_{△ABC}}$+$\frac{1}{{S}_{△DBC}}$=$\frac{1}{{S}_{△EBC}}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．