Question

1．O是正方形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)，∠EOF的兩邊交AD，CD于E，F(xiàn)．若∠EOF=90°，求證：AE²+CF²=EF²．

Answer 1

分析 延長EO交BC于M，連接FM，先證明△AEO≌△CMO，得AE=CM，EO=OM，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到FE=FM，在RT△CMF中利用勾股定理即可解決．

解答 證明：延長EO交BC于M，連接FM．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AE∥CM，∠BCD=90°
∴∠EAO=∠MCO，
在△AEO和△CMO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠MCO}\\{∠AOE=∠MOC}\\{AO=OC}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CMO，
∴EO=OM，AE=MC，
∵∠EOF=90°，
∴FO⊥EM，
∴FE=FM，
在RT△ECF中，∵∠MCF=90°，
∴FM²=CM²+CF²，
∵FM=FE，CM=AE，
∴AE²+CF²=EF²．

點(diǎn)評 本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造全等三角形，屬于中考常考題型．