Question

12．二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，4），且與直線y=-$\frac{1}{2}x$+1相交于A、B兩點(diǎn)（如圖），A點(diǎn)在y軸上，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（-3，0）．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)N是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)（點(diǎn)N在AB上方），連結(jié)NB、NA，試問(wèn)△ABN的面積是否存在最大值？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線的解析式為y=-$\frac{1}{2}x$+1可得出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，結(jié)合給定的坐標(biāo)（-1，4）利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式；
（2）存在．作AB的平行線EN與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)N，交y軸于點(diǎn)E，由直線AB的解析式設(shè)出直線EN的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+k，將其代入到二次函數(shù)解析式中，根據(jù)根的判別式△=0得出關(guān)于k的一元一次方程，解方程得出k的值，將k的值代入方程中求出x的值，再將x的值代入到直線EN的解析式中即可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解答 解：（1）令直線y=-$\frac{1}{2}x$+1中x=0，則y=1；
令x=-3，則y=-$\frac{1}{2}$×（-3）+1=$\frac{5}{2}$．
∴點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（-3，$\frac{5}{2}$）．
根據(jù)題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{9a-3b+c=\frac{5}{2}}\\{a-b+c=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{4}}\\{b=-\frac{17}{4}}\\{c=1}\end{array}\right.$．
∴二次函數(shù)的解析式為：y=-$\frac{5}{4}{x}^{2}$-$\frac{17}{4}$x+1．
（2）存在．
要使△ABN的面積最大，AB長(zhǎng)度一定，只要AB上的高最大即可．
作AB的平行線EN與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)N，交y軸于點(diǎn)E，如圖所示．

此時(shí)△ABN的底邊AN上的高最大，設(shè)直線EN的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+k．
∵y=-$\frac{1}{2}$x+k與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴方程-$\frac{1}{2}$x+k=-$\frac{5}{4}{x}^{2}$-$\frac{17}{4}$x+1，即5x²+15x+4k-4=0的判別式△=15²-4×5（4k-4）=0，
解得：k=$\frac{61}{16}$．
∴直線EN的表達(dá)式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{61}{16}$．
此時(shí)方程5x²+15x+4k-4=0變?yōu)?x²+12x+9=（2x+3）²=0，
∴x=-$\frac{3}{2}$，
y=-$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{2}$）+$\frac{61}{16}$=$\frac{73}{16}$．
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{73}{16}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)求二次函數(shù)解析式以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求出直線EN的解析式．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，結(jié)合三角形的面積公式通過(guò)直線與拋物線相切來(lái)求極值是關(guān)鍵．