【題目】(本題12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)m為常數(shù))的圖象與x軸交于點A(-3,0),與y軸交于點C,以直線x=1為對稱軸的拋物線yax2bxca、b、c為常數(shù),且a≠0)經(jīng)過A、C兩點,并與x軸的正半軸交于點B

(1) 求m的值及拋物線的函數(shù)表達式;

(2) 是否存在拋物線上一動點Q,使得ACQ是以AC為直角邊的直角三角形?若存在,求出點Q的橫坐標(biāo);若存在,請說明理由;

(3) 若P是拋物線對稱軸上一動點,且使ACP周長最小,過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M1(x1,y1),M2(x2,y2)兩點,試問是否為定值,如果是,請求出結(jié)果,如果不是請說明理由. (參考公式:在平面直角坐標(biāo)之中,若A((x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點間的距離為

【答案】:(1) ,

(2) 存在. 設(shè)Q(x,)

① 當(dāng)點C為直角頂點時,∵ACOCQE,∴x=5.2;

當(dāng)點A為直角頂點時,∵ACOAQE,∴x=8.2;

綜上所述:Q點的橫坐標(biāo)為5.2或8.2.

(3) 直線BC的解析式為,∴P(1,3)

設(shè)過點P的直線為:ykx+3-k,

聯(lián)立,整理得x2+(4k-2)x-4k-3=0.

x1x2=2-4k,x1x2=-4k-3,y1y2k(x1x2)

同理:,

, (請注意符號)

為定值.

【解析】試題分析:(1)首先求得m的值,根據(jù)拋物線對稱性得到B點坐標(biāo),根據(jù)AB點坐標(biāo)利用交點式求得拋物線的解析式;

(2)(4)問較為復(fù)雜,如答圖所示,分幾個步驟解決:

1步:確定何時△ACP的周長最。幂S對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短的原理解決;

2步:確定P點坐標(biāo)P(1,3),從而直線M1M2的解析式可以表示為y=kx+3-k

3步:利用根與系數(shù)關(guān)系求得M1、M2兩點坐標(biāo)間的關(guān)系,得到x1+x2=2-4k,x1x2=-4k-3.這一步是為了后續(xù)的復(fù)雜計算做準(zhǔn)備;

4步:利用兩點間的距離公式,分別求得線段M1M2、M1PM2P的長度,相互比較即可得到結(jié)論: 為定值.這一步涉及大量的運算,注意不要出錯,否則難以得出最后的結(jié)論.

(3)分①若C為直角頂點,△ACO相似于△CQE,②若A為直角頂點,△ACO相似于

AQE,兩種情況討論求解.

試題解析:

:(1) ,

(2) 存在. 設(shè)Q(x,)

① 當(dāng)點C為直角頂點時,∵ACOCQE,∴x=5.2;

當(dāng)點A為直角頂點時,∵ACOAQE,∴x=8.2;

綜上所述:Q點的橫坐標(biāo)為5.2或8.2.

() 直線BC的解析式為,∴P(1,3)

設(shè)過點P的直線為:ykx+3-k,

聯(lián)立,整理得x2+(4k-2)x-4k-3=0.

x1x2=2-4k,x1x2=-4k-3,y1y2k(x1x2)

同理:,

, (請注意符號)

為定值.

練習(xí)冊系列答案
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根據(jù)以上信息,完成下列問題:

(1) 當(dāng)3<n≤7時,用含t的式子表示v;

(2) 分別求該物體在0≤t≤3和3<n≤7時,運動的路程s(米)關(guān)于時間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式;并求該物體從P點運動到Q總路程的時所用的時間.

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