(2012•鄖縣三模)如圖,已知△ABC中,AB=10,BC=8,AC=6,以BC為直徑作⊙O,交AB邊于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DF⊥BC,垂足為F,E為AC中點(diǎn),連接DE.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)求DF的長;
(3)在BC上是否存在一點(diǎn)P,使DP+EP最?若存在,求出點(diǎn)P的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)連接DE,則可得ED=EA=EC,從而可得∠ECD=∠EDC,再由OC=OD,可得∠OCD=∠ODC,結(jié)合∠ECD+∠OCD=90°可證明OD⊥ED,繼而可得出結(jié)論;
(2)根據(jù)△BCD∽△BAC,可得出BD的長度,然后根據(jù)△BDF∽△BAC,可求出DF的長度.
(3)延長DF交圓O于點(diǎn)H,連接ED',則ED'與BC的交點(diǎn)即是點(diǎn)P的位置,然后求出CF,結(jié)合△ECP∽△D'FP可求出CP的長度.
解答:解:(1)連接OD,

∵BC是直徑,
∴∠CDB=90°,也可得出∠CDA=90°,
又∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),
∴ED=EC=EA,
∴∠ECD=∠EDC,
∵OD=OC,
∴∠OCD=∠ODC,
又∵∠ECD+∠OCD=90°,
∴∠EDC+∠ODC=90°,
∴OD⊥ED,
故DE是⊙O的切線.
(2)∵AB=10,BC=8,AC=6,
∴AC2+BC2=AB2
∴∠BCA=90°,
∵∠B=∠B,∠BDC=∠BCA=90°,
∴△BCD∽△BAC,
BD
BC
=
BC
AB
,即
BD
8
=
8
10
,
解得:BD=
32
5

又∵∠B=∠B,∠BFD=∠BCA=90°,
∴△BDF∽△BAC,
BD
BA
=
DF
AC
,即
BD
10
=
DF
6
,
解得:DF=
96
25

(3)

∵∠DCF=∠BAC,∠DFC=∠BDC=90°,
∴△BAC∽△DCF,
CF
AC
=
DF
BC
,即
CF
6
=
DF
8

解得:CF=
72
25
,
∵∠BCA=∠CFD'=90°,∠EPC=∠D'PF,
∴△ECP∽△D'FP,
從而
CP
PF
=
CE
FD′
,即
CP
PF
=
3
96
25
=
25
32

又∵CP+FP=CP=
72
25
,
∴CP=
24
19
.即點(diǎn)P的位置在距離C點(diǎn)右方
24
19
遠(yuǎn)處.
點(diǎn)評(píng):本題屬于圓的綜合題,涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理、軸對(duì)稱求最短路徑的問題,綜合性較強(qiáng),難度較大,解答本題的關(guān)鍵是熟練各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容,將所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通.
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(2012•鄖縣三模)如圖,已知直線y=kx+b(k>0)與拋物線y=x2交于A、B兩點(diǎn)(A、B兩點(diǎn)分別位于第二和第一象限),且A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是1和9,則不等式x2-kx-b>0的解集為( 。

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(2012•鄖縣三模)在⊙O中,已知⊙O的直徑AB為4,弦AC長為2,弦AD長為2
2
,則∠COD=
30°或150°.
30°或150°.

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(2012•鄖縣三模)計(jì)算:(-1)0+
1
2
tan45°-2-1+|-
8
|

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(2012•鄖縣三模)先化簡:(
2
2x-3
-
x-1
x2-2x+1
)÷
1
2x-3
,然后從
2
-1
,1,
2
+1
,
3
2
中選取一個(gè)你認(rèn)為合適的數(shù)作為x的值代入求值.

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