Question

（2012•鄖縣三模）如圖，⊙O的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙O與x軸正半軸交于點(diǎn)B，延長OB至點(diǎn)A使AB=OB，過點(diǎn)A作⊙O的切線AC，切點(diǎn)為C，P為⊙O上一點(diǎn)（不在弧BC上），則cos∠BPC的值為（　�。�

• A．

  3

  4

• B．

  1

  2

• C．

  3

  2

• D．

  4

  5

Answer 1

分析：利用切線的性質(zhì)、30度角所對(duì)直角邊是斜邊的一半證得∠CAO=30°，則易求∠COA=60°；然后利用圓周角定理推知∠BPC=

1

2

∠BOC=30°，從而求得cos∠BPC的值．

解答：解：如圖，連接OC．
∵AC是⊙O的切線，點(diǎn)C是切點(diǎn)，
∴∠ACO=90°．
∵OC=OB，OB=AB，
∴OC=

1

2

OA，
∴∠CAO=30°，
∴∠AOC=60°．
∴∠BPC=

1

2

∠BOC=30°（同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半），
∴cos∠BPC=cos∠30°=

3

2

；
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理以及特殊角的三角函數(shù)值．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．