Question

【題目】已知、是的兩條弦，于，連接，過點作，垂足為.

（1）如圖，連接、，求證：；

（2）連接并延長交于點，若平分，，圓的半徑為，求和的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）,

【解析】

（1）連接，由、可得，，，即，同弧，所以，推出；得，，所以是等腰三角形，；因為，得垂直平分，即；（2）如圖，連接并延長交圓于，連接，由，可得，則，在Rt△AMC中可得：，故，故；過作于，可得，故，設(shè)，則，，由平分，及∠BNH=∠BFH=90°,可得HN=HF=3a故，在中，，可得，，在中，；過作于，則，，由于，，可得，即可求出的值；

（1）證明：連接，

∵，，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴垂直平分，

∴.

（2）如圖，連接并延長交圓于，連接，

∵是圓的直徑，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵圓的半徑為，

∴，

∴中，，

∴.

過作于，可得，

∴，

在中，，

設(shè)，則，，

∵平分，∠BNH=∠BFH=90°,

∴HN=HF=3a

∴，

在中，，

∴，，

∴在中，；

過作于，則，，

∵，，

∴，

∴.