Question

如圖，拋物線與x軸交于點A，將線段OA繞點O逆時針旋轉120⁰至OB的位置.

（1）點B在拋物線上;

（2）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖1，過點B作BC⊥x軸于點C，

（2）存在。

如圖2，拋物線的對稱軸是x=2，直線x=2與x軸的交點為D，設點P的坐標為（2，y）。

①若OB=OP，則2²+|y|²=4²，解得y=±，

當y=時，

在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=，

∴∠POD=60°。

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三點在同一直線上。

∴y=不符合題意，舍去。

∴點P的坐標為（2，）。

【考點】二次函數綜合題，旋轉的性質，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，曲線上點的坐標與方程的關系，等腰三角形的性質，勾股定理，分類思想的應用。