Question

已知二次函數(shù)y=-x²+（m-2）x+m+1．
（1）試說明：不論m取任何實(shí)數(shù)，這個(gè)二次函數(shù)的圖象必與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)都在原點(diǎn)的左側(cè)？
（3）當(dāng)m為何值時(shí)，這個(gè)二次函數(shù)的圖象的對稱軸是y軸？

Answer 1

（1）證明：△=（m-2）²-4×（-1）×（m+1）
=m²+8，
∵m²≥0，
∴m²+8＞0，即△＞0，
∴不論m取任何實(shí)數(shù)，這個(gè)二次函數(shù)的圖象必與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）解：設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，0），（x₂，0），則x₁和x₂為關(guān)于x的方程-x²+（m-2）x+m+1=0的兩不等實(shí)數(shù)根，且x₁＜0，x₂＜0，
∴x₁+x₂=m-2＜0，x₁•x₂=-（m+1）＞0，
∴m＜-1；
即m＜-1時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)都在原點(diǎn)的左側(cè)；

（3）根據(jù)題意得x=-=0，
解得m=2，
即m=2時(shí)，這個(gè)二次函數(shù)的圖象的對稱軸是y軸．
分析：（1）先計(jì)算方程-x²+（m-2）x+m+1=0的判別式得到△=m²+8，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)有△＞0，然后根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，0），（x₂，0），根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題得到x₁和x₂為關(guān)于x的方程-x²+（m-2）x+m+1=0的兩不等實(shí)數(shù)根，且x₁＜0，x₂＜0，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=m-2＜0，x₁•x₂=-（m+1）＞0，再求出兩個(gè)不等式的公共部分即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到-=0，然后解方程即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系：△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和二次函數(shù)的性質(zhì)．