Question

17．已知，如圖，PA與⊙O相切于點A，過A作AB⊥OP，交⊙O于點B，垂足為H，連接OA，OB，PB．
（1）求證：PB為⊙O的切線；
（2）若OA=2，PH=4，求OP的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP=90°，求得∠AOP=∠BOP，推出△AOP≌△BOP（SAS），根據(jù)全等三角形的想知道的∠OBP=∠OAP=90°，于是得到結(jié)論；
（2）根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠OAH=∠APO，推出△OAH∽△OPA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{OA}{OP}=\frac{OH}{OA}$，代入數(shù)據(jù)監(jiān)控得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵PA是⊙O的切線，
∴∠OAP=90°，
∵OA=OB，AB⊥OP，
∴∠AOP=∠BOP，
在△AOP與△BOP中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠AOP=∠BOP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴PB是⊙O的切線；

（2）解：∵AB⊥OP，
∴∠AHP=90°，
∴∠APO+∠PAH=90°，
∴∠OAH=∠APO，
∵∠AOH=∠POA，
∴△OAH∽△OPA，
∴$\frac{OA}{OP}=\frac{OH}{OA}$，
∴OA²=OH•OP，
∴2²=（OP-4）•OP，
∴OP=2$±2\sqrt{2}$，
∵OP＞0，
∴OP=2+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)和判定，垂徑定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．