Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=ax2﹣10ax+16a（a≠0）交x軸于A、B兩點，拋物線的頂點為D，對稱軸與x軸交于點H，且AB=2DH．

（1）求a的值；

（2）點P是對稱軸右側拋物線上的點，連接PD，PQ⊥x軸于點Q，點N是線段PQ上的點，過點N作NF⊥DH于點F，NE⊥PD交直線DH于點E，求線段EF的長；

（3）在（2）的條件下，連接DN、DQ、PB，當DN=2QN（NQ＞3），2∠NDQ+∠DNQ=90°時，作NC⊥PB交對稱軸左側的拋物線于點C，求點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）點C（﹣1，9）．．

【解析】試題分析：（1）根據y=ax2-10ax+16a可以求得當y=0時，x的值，從而可以求得點A、B的坐標，由拋物線的頂點為D，對稱軸與x軸交于點H，且AB=2DH，從而可以求得a的值；

（2）根據已知條件作出相應的圖形，然后根據題意題目中的數量關系，通過靈活變形可以求得EF的長；

（3）根據題意可以畫出相應的圖形，然后根據題目中的關系，利用三角形相似，靈活變化可以求得點C的坐標．

試題解析：（1）令y=0，得x=2或x=8，∴點A（2，0），B（8，0），∴AB=6，

∵AB=2DH，∴DH=3，

∵OH=2+，∴D（5，﹣3），∴﹣3=a×52﹣10a×5+16a，得a=；

（2）如圖1，過點D作PQ的垂線，交PQ的延長線于點M，

∵NE⊥PD，∴∠DPN+∠PNE=90°，∵NF⊥DE，∴∠FEN+∠FNE=90°，

又∵DH⊥x軸，PQ⊥x軸，∴DE∥PQ，∴∠FEN=∠PNE，∴∠DPM=∠ENF，∴△EFN∽△DMP，

∴，設點P（t， ），則FN=DM=t﹣5，PM=+3，代入解得EF=3；

（3）如圖2，作QG⊥DN于點G，∵DF∥PQ，∴∠FDN=∠DNQ，∵2∠NDQ+∠DNQ=90°，

∴2∠NDQ+∠FDN=90°，∵∠FDM=90°，∴∠NDM=2∠NDQ，∴∠NDQ=∠MDQ，∴QG=QM=DH=3，

設QN=m，則DN=2m，∵sin∠DNM=，sin∠QNG=，sin∠DNM=sin∠QNG，

∴，得DM=6=DG，∴OQ=5+6=11，

∴點P的縱坐標是： =9，∴點P（11，9），

∵NG=2m﹣6，在Rt△NGQ中，QG2+NG2=QN2，

∴32+（2m﹣6）2=m2，得，m=3（舍）或m=5，

設C（n， ），作CK⊥x軸于點K，作NF⊥CK于點K，則CT=，NT=11﹣n，

∵P（11，9），則BQ=11﹣8=3，PQ=9，

∵CN⊥PB，PQ∥CK，PQ⊥x軸， ∴△CTN∽△BQP，

∴， 即， 解得，n=﹣1或n=10（舍去），

∴點C（﹣1，9）．