Question

1．在正方形ABCD中，點E是對角線AC的中點，點F在邊CD上，連接DE、AF，點G在線段AF上

（1）如圖①，若DG是△ADFD的中線，DG=2.5，DF=3，連接EG，求EG的長；
（2）如圖②，若DG⊥AF交AC于點H，點F是CD的中點，連接FH，求證：∠CFH=∠AFD；
（3）如圖③，若DG⊥AF交AC于點H，點F是CD上的動點，連接EG．當(dāng)點F在邊CD上（不含端點）運動時，∠EGH的大小是否發(fā)生改變？若不改變，求出∠EGH的度數(shù)；若發(fā)生改變，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出AD=CD=BC，∠ADF=∠BCD=90°，∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出AF=2DG=5，由勾股定理求出CD=AD=4，得出CF=1，由三角形中位線定理得出EG=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$即可；
（2）延長DH交BC于M，證出∠AFD=∠DMC，由AAS證明△CDM≌△DAF，得出對應(yīng)邊相等CM=DF，由已知條件得出DF=CF，因此CM=CF，由SAS證明△CMH≌△CFH，得出對應(yīng)角相等∠CMH=∠CFH，即可得出結(jié)論；
（3）由直角三角形的性質(zhì)得出DE=$\frac{1}{2}$AC=AE，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADE=∠DAC=45°，證出∠AED=90°=∠AGD，延長A、D、G、E四點共圓，由圓周角定理得出∠AGE=∠ADE=45°，即可得出結(jié)果．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠ADF=∠BCD=90°，∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°，
∵DG是△ADF的中線，DG=2.5，
∴AF=2DG=5，
∴CD=AD=$\sqrt{A{F}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴CF=CD-DF=1，
∵點E是對角線AC的中點，G是AF的中點，
∴EG是△ACF的中位線，
∴EG=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$；
（2）證明：延長DH交BC于M，如圖所示，
∵DG⊥AF，
∴∠AGH=∠DGA=∠DGF=90°，
∴∠AFD+∠FDG=90°，
∵∠DMC+∠FDG=90°，
∴∠AFD=∠DMC，
在△CDM和△DAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠ADF}&{\;}\\{∠DMC=∠AFD}&{\;}\\{CD=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDM≌△DAF（AAS），
∴CM=DF，
∵點F是CD的中點，
∴DF=CF，
∴CM=CF，
在△CMH和△CFH中，$\left\{\begin{array}{l}{CM=CF}&{\;}\\{∠HCM=∠HCF}&{\;}\\{CH=CH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CMH≌△CFH（SAS），
∴∠CMH=∠CFH，
∴∠CFH=∠AFD；
（3）解：∠EGH的大小不發(fā)生改變，∠EGH=45°；理由如下：
∵點E是對角線AC的中點，∠ADC=90°，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=AE，
∴∠ADE=∠DAC=45°，
∴∠AED=90°=∠AGD，
∴A、D、G、E四點共圓，
∴∠AGE=∠ADE=45°，
∴∠EGH=90°-45°=45°．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理、四點共圓、圓周角定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（2）中，需要證明兩次三角形全等才能得出結(jié)論．