Question

14．關(guān)于x的一元二次方程x²+3x+m-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）若2（x₁+x₂）+x₁x₂+10=0，求m的值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)m使此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于-1？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知一元二次方程x²+3x+m-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₁和x₂，根據(jù)方程根的判別式求出m的范圍．
（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-3，x₁•x₂=m-1，再利用已知條件得到-6+m-1+10=0，然后解一次方程即可；
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于-1，即$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-1，將x₁+x₂=-3，x₁•x₂=m-1代入求出m的值，與（1）中所求m的范圍比較即可求解．

解答 解：（1）∵x²+3x+m-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₁和x₂，
∴b²-4ac=3²-4（m-1）≥0，
∴m≤$\frac{13}{4}$；

（2）根據(jù)題意得：
x₁+x₂=-3，x₁•x₂=m-1，
∵2（x₁+x₂）+x₁x₂+10=0，
∴-6+m-1+10=0，
∴m=-3．
∵m≤$\frac{13}{4}$，
∴m=-3符合題意；

（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于-1，即$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-1，
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{-3}{m-1}$=-1，
解得m=4，
∵m≤$\frac{13}{4}$，
∴m=4不符合題意，
故不存在實(shí)數(shù)m使此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于-1．

點(diǎn)評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判別式．