Question

（2011•鞍山一模）如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=8，CD=10．
（1）求梯形ABCD的面積S；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度、沿B→A→D→C方向，向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度、沿C→D→A方向，向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)目的地時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
問：①當(dāng)點(diǎn)P在B→A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長(zhǎng)平分？若存在，請(qǐng)求出t的值，并判斷此時(shí)PQ是否平分梯形ABCD的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求面積要先求梯形的高，在直角三角形中用勾股定理進(jìn)行求解，得出底邊后即可求出梯形的面積．
（2）①PQ平分梯形的周長(zhǎng)，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了AD，BC的長(zhǎng)，可以用t來(lái)表示出AP，BP，CQ，QD的長(zhǎng)，那么可根據(jù)上面的等量關(guān)系求出t的值，再求出梯形面積即可得出答案；
②分三種情況進(jìn)行討論：
一、當(dāng)P在AB上時(shí)，即0≤t≤4，等腰△PDQ以DQ為腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以通過(guò)構(gòu)建直角三角形來(lái)表示出DP，PQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)得出的等量關(guān)系來(lái)求t的值．
二、當(dāng)P在AD上時(shí)，即4＜t＜5，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10-2t，因此DP，DQ恒相等．
三、當(dāng)P在CD上時(shí)，即5＜t≤6．綜合三種情況可得出等腰三角形以DQ為腰時(shí)，t的取值．

解答：解：（1）過(guò)D作DH∥AB交BC于H點(diǎn)，
∵AD∥BH，DH∥AB，
∴四邊形ABHD是平行四邊形．
∴DH=AB=8；BH=AD=2．
∵CD=10，
∴HC=

CD 2-DH2

=6，
∴BC=BH+CH=8，
∴S_ABCD=

1

2

（AD+BC）AB=

1

2

×（2+8）×8=40．

（2）①∵BP=CQ=2t，
∴AP=8-2t，DQ=10-2t，
∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，
∴8-2t+2+10-2t=2t+8+2t．
∴t=

3

2

＜4．
∴當(dāng)t=

3

2

秒時(shí)，PQ將梯形ABCD周長(zhǎng)平分．
QC=3，PB=3，
∵QE∥DH，
∴

QC

DC

=

QE

DH

=

EC

HC

，
∴

3

10

=

QE

8

=

EC

6

，
∴QE=

12

5

，EC=

9

5

，
BE=8-

9

5

=

31

5

，
四邊形PBCQ面積=S_梯形QEBP+S_△QEC=

1

2

（PB+QE）×BE+

1

2

QE×EC，
=

1

2

×（

12

5

+3）×

31

5

+

1

2

×

12

5

×

9

5

，
=

189

10

，
=18.9，
所以PQ不平分梯形ABCD的面積．


②第一種情況：當(dāng)0≤t≤4時(shí)．過(guò)Q點(diǎn)作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足為E、H．
∵AP=8-2t，AD=2，
∴PD=

AP2+AD2

=

4 t2-32t+68

．
∵CE=

6

5

t，QE=

8

5

t，
∴QH=BE=8-

6

5

t，BH=QE=

8

5

t．
∴PH=2t-

8

5

t=

2

5

t．
∴PQ=

HQ2+PH2

=

(8- 6 5 )2+( 2 5 ) 2

=

8 5 t2- 96 5 t+64

，
DQ=10-2t．
Ⅰ：DQ=DP，10-2t=

4 t2-32t+68

，
解得t=4秒．
Ⅱ：DQ=PQ，10-2t=

8 5 t2- 96 5 t+64

，
化簡(jiǎn)得：3t²-26t+45=0
解得：t=

13- 34

3

，t=

13+ 34

3

＞4（不合題意舍去），
∴t=

13- 34

3

，
∴第二種情況：4≤t＜5時(shí)．DP=DQ=10-2t．
∴當(dāng)4≤t＜5時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．
第三種情況：5＜t≤6時(shí)．DP=DQ=2t-10．
∴當(dāng)5＜t≤6時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．
綜上所述，t=

13- 34

3

或4，4≤t＜5或5＜t≤6時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ成立．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了梯形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，要注意（3）中要根據(jù)P，Q的不同位置，進(jìn)行分類討論，不要漏解．