【題目】如圖1,點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),過點(diǎn)O作射線OC,使∠BOC=120°,將有一30度角的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,一邊OM在射線OB上,另一邊ON在直線AB的下方.(圖中∠OMN=30°,∠NOM=90°)
(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2,使OM在∠BOC的內(nèi)部,且恰好平分∠BOC,問直線ON是否平分∠AOC?請(qǐng)說明理由;
(2)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒6°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過程中,第t秒時(shí),直線ON恰好平分銳角∠AOC,求t;
(3)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3,使ON在∠AOC的內(nèi)部,請(qǐng)?zhí)骄浚骸螦OM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

【答案】
(1)解:直線ON平分∠AOC;

理由:

設(shè)ON的反向延長(zhǎng)線為OD,

∵OM平分∠BOC,

∴∠MOC=∠MOB=60°,

又∵OM⊥ON,

∴∠MON=90°,

∴∠BON=30°,

∴∠CON=120°+30°=150°,

∴∠COD=30°,

∴OD平分∠AOC,

即直線ON平分∠AOC


(2)解:由(1)可知∠BON=30°,∠DON=180°

因此ON旋轉(zhuǎn)60°或240°時(shí)直線ON平分∠AOC,

由題意得,6t=60°或240°,

∴t=10或40


(3)解:∵∠MON=90°,∠AOC=60°,

∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON,

∴∠AOM﹣∠NOC=(90°﹣∠AON)﹣(60°﹣∠AON)=30°


【解析】(1)由角的平分線的定義和等角的余角相等求解;(2)由∠BOC=120°可得∠AOC=60°,則∠AON=30°或∠NOR=30°,即順時(shí)針旋轉(zhuǎn)300°或120°時(shí)ON平分∠AOC,據(jù)此求解;(3)因?yàn)椤螹ON=90°,∠AOC=60°,所以∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON,然后作差即可.
【考點(diǎn)精析】掌握角的平分線和余角和補(bǔ)角的特征是解答本題的根本,需要知道從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線,把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角,這條射線叫做這個(gè)角的平分線;互余、互補(bǔ)是指兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系,與兩個(gè)角的位置無關(guān).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)小棒能無限擺下去嗎?答: .(填“能”或“不能”)

(2)若已經(jīng)擺放了3根小棒,則= ,= ,= ;(用含的式子表示)

(3)若只能擺放4根小棒,求的范圍.

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分?jǐn)?shù)

50

60

70

80

90

100

人數(shù)

甲班

1

6

12

11

15

5

乙班

3

5

15

3

13

11

請(qǐng)根據(jù)表中提供的信息回答下列問題:

(1)甲班的眾數(shù)是多少分,乙班的眾數(shù)是多少分,從眾數(shù)看成績(jī)較好的是哪個(gè)班?

(2)甲班的中位數(shù)是多少分,乙班的中位數(shù)是多少分,甲班成績(jī)?cè)谥形粩?shù)以上(包括中位數(shù))的學(xué)生所占的百分比是多少;乙班成績(jī)?cè)谥形粩?shù)以上(包括中位數(shù))的學(xué)生所占的百分比是多少,從中位數(shù)看成績(jī)較好的是哪個(gè)班?

(3)甲班的平均成績(jī)是多少分,乙班的平均成績(jī)是多少分,從平均成績(jī)看成績(jī)較好的班是哪個(gè)班?

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M號(hào)襯衫數(shù)

0

1

4

5

7

9

10

11

包數(shù)

7

3

10

15

5

4

3

3

根據(jù)以上數(shù)據(jù),選擇正確選項(xiàng)( .

A.M號(hào)襯衫一共有47件

B.從中隨機(jī)取一包,包中L號(hào)襯衫數(shù)不低于9是隨機(jī)事件

C.從中隨機(jī)取一包,包中L號(hào)襯衫數(shù)不超過4的概率為0.26

D.將50包襯衫混合在一起,從中隨機(jī)拿出一件襯衫,恰好是M號(hào)的概率為0.252

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