Question

【題目】（課題研究）旋轉(zhuǎn)圖形中對應線段所在直線的夾角（小于等于的角）與旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系．

（問題初探）線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得線段，其中點與點對應，點與點對應，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為，且．

（1）如圖（1）當時，線段、所在直線夾角為______．

（2）如圖（2）當時，線段、所在直線夾角為_____．

（3）如圖（3），當時，直線與直線夾角與旋轉(zhuǎn)角存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

（形成結(jié)論）旋轉(zhuǎn)圖形中，當旋轉(zhuǎn)角小于平角時，對應線段所在直線的夾角與旋轉(zhuǎn)角_____．

（運用拓廣）運用所形成的結(jié)論求解下面的問題：

（4）如圖（4），四邊形中，，，，，，試求的長度．

Answer 1

【答案】（1）90°；（2）60°；（3）互補，理由見解析；相等或互補；（4）.

【解析】

（1）通過作輔助線如圖1，延長DC交AB于F，交BO于E，可以通過旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到AB=CD，OA=OC，BO=DO，證明△AOB≌△COD，進而求得∠B=∠D得∠BFE=∠EOD=90°

（2）通過作輔助線如圖2，延長DC交AB于F，交BO于E，同（1）得∠BFE=∠EOD=60°

（3）通過作輔助線如圖3，直線與直線所夾的銳角與旋轉(zhuǎn)角互補， 延長，交于點通過證明得，再通過平角的定義和四邊形內(nèi)角和定理，證得；

形成結(jié)論：通過問題（1）（2）（3）可以總結(jié)出旋轉(zhuǎn)圖形中，當旋轉(zhuǎn)角小于平角時，對應線段所在直線的夾角與旋轉(zhuǎn)角相等或互補；

（4）通過作輔助線如圖：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使得與重合，得到，連接，延長，交于點，可得，進一步得到△BDF是等邊三角形，，再利用勾股定理求得.

（1）解：（1）如圖1，延長DC交AB于F，交BO于E，

∵α=90°
∴∠BOD=90°
∵線段AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得線段CD，
∴AB=CD，OA=OC，BO=DO
∴△AOB≌△COD（SSS）
∴∠B=∠D
∵∠B=∠D，∠OED=∠BEF
∴∠BFE=∠EOD=90°
故答案為：90°
（2）如圖2，延長DC交AB于F，交BO于E，

∵α=60°
∴∠BOD=60°
∵線段AB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得線段CD，
∴AB=CD，OA=OC，BO=DO
∴△AOB≌△COD（SSS）
∴∠B=∠D
∵∠B=∠D，∠OED=∠BEF
∴∠BFE=∠EOD=60°
故答案為：60°

（3）直線與直線所夾的銳角與旋轉(zhuǎn)角互補，

延長，交于點

∵線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得線段，

∴，，

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∴直線與直線所夾的銳角與旋轉(zhuǎn)角互補；

形成結(jié)論：旋轉(zhuǎn)圖形中，當旋轉(zhuǎn)角小于平角時，對應線段所在直線的夾角與旋轉(zhuǎn)角相等或互補；

（4）將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使得與重合，得到，連接，延長，交于點，

∴旋轉(zhuǎn)角為，

∴，，，

∴△BDF是等邊三角形，

∵，，

∴，

∴.