Question

20．閱讀下面材料：
在數(shù)學課上，老師請同學思考如下問題：如圖1，我們把一個四邊形ABCD的四邊中點E，F(xiàn)，G，H依次連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎？
小敏在思考問題是，有如下思路：連接AC．

結合小敏的思路作答
（1）若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀（如圖2），則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎？說明理由；參考小敏思考問題方法解決以下問題：
（2）如圖2，在（1）的條件下，若連接AC，BD．
①當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形，寫出結論并證明；
②當AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形，直接寫出結論．

Answer 1

分析 （1）如圖2，連接AC，根據(jù)三角形中位線的性質得到EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，然后根據(jù)平行四邊形判定定理即可得到結論；
（2）①由（1）知，四邊形EFGH是平行四邊形，且FG=$\frac{1}{2}$BD，HG=$\frac{1}{2}$AC，于是得到當AC=BD時，F(xiàn)G=HG，即可得到結論；
②根據(jù)平行線的性質得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF=90°，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結論．

解答 解：（1）是平行四邊形，
證明：如圖2，連接AC，
∵E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
同理HG∥AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，
綜上可得：EF∥HG，EF=HG，
故四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）①AC=BD．
理由如下：
由（1）知，四邊形EFGH是平行四邊形，且FG=$\frac{1}{2}$BD，HG=$\frac{1}{2}$AC，
∴當AC=BD時，F(xiàn)G=HG，
∴平行四邊形EFGH是菱形，

②當AC⊥BD時，四邊形EFGH為矩形；
理由如下：
同（2）得：四邊形EFGH是平行四邊形，
∵AC⊥BD，GH∥AC，
∴GH⊥BD，
∵GF∥BD，
∴GH⊥GF，
∴∠HGF=90°，
∴四邊形EFGH為矩形．

點評 此題主要考查了中點四邊形，關鍵是掌握三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．