Question

【題目】如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中直線(xiàn)交坐標(biāo)軸于、兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為．點(diǎn)為直線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，如果有，求點(diǎn)的坐標(biāo)，如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)在線(xiàn)段上移動(dòng)時(shí)（不含端點(diǎn)），連接，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)為；（2）存在；點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，4）或（，）或（，）；（3）當(dāng)t=時(shí)，=為△CMF的面積最大值．

【解析】

（1）由圖形可得出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)即可解得；

（2）假設(shè)存在，設(shè)M（t，t+1），則=t，解得DE=4，以D、E、M、N為頂點(diǎn)的的四邊形是平行四邊形，結(jié)合圖形DE∥MN且DE=MN，列出方程式，求解即可；

（3）過(guò)C作CH⊥MF交FM延長(zhǎng)線(xiàn)于H，得到，代入數(shù)據(jù)得到關(guān)于x的二次函數(shù)式，利用最值問(wèn)題即可得出結(jié)果．

（1）∵直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），

把點(diǎn)C（，5）代入直線(xiàn)解析式，

∴=5-1=4，即點(diǎn)C（4，5），

把點(diǎn)A（-1，0），C（4，5）代入拋物線(xiàn)解析式得

，

解得，

∴拋物線(xiàn)的解析式為：，

故答案為：；

（2）假設(shè)存在，設(shè)M（t，t+1），則=t，

∴，

當(dāng)x=0時(shí)，，點(diǎn)D（0，1）

∴DE=4，

∵DE∥MN，且D、E、M、N為頂點(diǎn)的的四邊形是平行四邊形，

∴DE=MN，

∴MN==4，

∴，

∴或，

解，得=0（舍）或=3；

解，得=或=，

∴綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，4）或（，）或（，），

故答案為：存在；（3,4）或（，）或（，）；

（3）同（2）設(shè)M（t，t+1），

∵M在線(xiàn)段AC上，

∴-1<t<4，

過(guò)C作CH⊥MF交FM延長(zhǎng)線(xiàn)于H，

，

=（t+1）（4-t），

=，

=，

當(dāng)t=時(shí)，=為△CMF的面積最大值，

答：△CMF的面積最大值為，

故答案為：．