Question

已知：如圖，拋物線y=ax²-3x+c與x軸交于A、B，與y軸交于C，拋物線的頂點為D，D點的橫坐標為3，C點的坐標為（0，4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）P點從C點出發(fā)沿y軸負方向運動，Q點從B點出發(fā)沿x軸正方向運動，P、Q兩點同時出發(fā)，速度均為每秒1個單位長度，過P點作x軸的平行線交拋物線于E，設運動時間為t（秒），當t為何值時，P、A、Q、E四點構成平行四邊形；
（3）將拋物線向上平移2個單位長度，平移后的拋物線的頂點為F，交y軸于N，在平移后的拋物線上是否存在點M，使S_△MNC=2S_△MFD？若存在求出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題,解一元二次方程-直接開平方法,解一元二次方程-因式分解法,待定系數法求二次函數解析式,平行四邊形的判定

專題：綜合題

分析：（1）由條件可建立關于a與c的方程組，解這個方程組就可求出拋物線的解析式．
（2）由于PE∥AQ，只需PE=AQ，四邊形APEQ就是平行四邊形，此時PE=AQ=2+t，就可得到點E（2+t，4-t），代入拋物線的解析式就可求出t．
（3）設點M的坐標為（m，n），根據條件就可建立關于m的方程，解這個方程就可得到m，代入新拋物線的解析式就可求出點M的坐標．

解答：解：（1）由題可得：

- -3 2a =3 c=4

．
解得：

a= 1 2 c=4

．
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x²-3x+4．

（2）如圖1，
由題可得：PE∥AQ，CP=BQ=t．
解方程

1

2

x²-3x+4=0得：x₁=2，x₂=4．
則點A（2，0），B（4，0）．AB=2．
當PE=AQ時，四邊形PAQE是平行四邊形，
此時PE=AQ=AB+BQ=2+t．
則點E的坐標為（2+t，4-t）．
∵點E在拋物線y=

1

2

x²-3x+4上，
∴

1

2

（2+t）²-3（2+t）+4=4-t．
解得：t₁=2

2

，t₂=-2

2

（舍去）．
∴當t=2

2

秒時，P、A、Q、E四點構成平行四邊形．

（3）存在．
由題可得：平移后的拋物線的解析式為y=

1

2

x²-3x+4+2=

1

2

x²-3x+6，且CN=DF=2．如圖2，
設點M的坐標為（m．n）．
∵S_△MNC=2S_△MFD，
S_△MNC=

1

2

×2×

.

m

.

=

.

m

.

，
S_△MFD=

1

2

×2×

.

3-m

.

=

.

3-m

.

，
∴

.

m

.

=2

.

3-m

.

．
∴m²=4（3-m）²．
解得：m₁=2，m₂=6．
當m=2時，n=

1

2

×2²-3×2+6=2，點M（2，2）；
當m=6時，n=

1

2

×6²-3×6+6=6，點M（6，6）．
∴點M的坐標為（2，2）或（6，6）．

點評：本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式、解一元二次方程、平行四邊形的判定等知識，有一定的綜合性．需要注意的是：用坐標表示線段的長度時要加絕對值．