Question

已知⊙O中，弦AB垂直弦CD于E．

（1）如圖1，若AE=DE，求證：CE=BE；
（2）如圖2，若∠AOD=140°，求∠BOC的度數(shù)；
（3）如圖3，若點M為AC的中點，求證：ME⊥BD
（4）如圖4，若ON⊥BD于N，求證：ON=

1

2

AC．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連接AD、BC，如圖1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由AE=DE得到∠A=∠D，再根據(jù)圓周角定理得∠A=∠C，∠B=∠D，則∠C=∠B，然后根據(jù)等腰三角形的判定即可得到CE=CB；
（2）連接BC，如圖2，由AB⊥CD得到∠EBC+∠ECB=90°，再根據(jù)圓周角定理得∠AOC=2∠ABC，∠BOD=2∠BCD，則∠AOC+∠BOD=2（∠ABC+∠BCD）=180°，然后利用周角的定義得到∠AOD+∠BOC=180°，所以∠BOC=180°-140°=40°；
（3）延長ME交BD于H，如圖3，由AB⊥CD得到∠AEC=90°，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得AM=ME=MC，則∠A=∠MEA，而∠MEA=∠BEH，所以∠A=∠BEH，根據(jù)圓周角定理由∠C=∠B，所以利用∠A+∠C=90°得到∠BEH+∠B=90°，然后根據(jù)垂直的定義得到ME⊥BD；
（4）作OP⊥AC于P，連接OA、OC、OB、OD，如圖4，由OP⊥AC，ON⊥BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠AOP=

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2

∠AOC，AP=CP，∠DON=

1

2

∠BOD，在（2）中已經(jīng)證明∠AOC+∠BOD=180°，則∠AOP+∠DON=90°，于是可利用等角的余角相等得到∠OAP=∠DON，然后根據(jù)“AAS”證明△OAP≌△DON，得到AP=ON，即可得到ON=

1

2

AC．

解答：證明：（1）連接AD、BC，如圖1，
∵AE=DE，
∴∠A=∠D，
∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠C=∠B，
∴CE=CB；
（2）連接BC，如圖2，
∵AB⊥CD，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠AOC=2∠ABC，∠BOD=2∠BCD，
∴∠AOC+∠BOD=2（∠ABC+∠BCD）=2×90°=180°，
∴∠AOD+∠BOC=360°-180°=180°，
∴∠BOC=180°-140°=40°；
（3）延長ME交BD于H，如圖3，
∵AB⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∵M點AC的中點，
∴AM=ME=MC，
∴∠A=∠MEA，
而∠MEA=∠BEH，
∴∠A=∠BEH，
∵∠C=∠B，∠A+∠C=90°，
∴∠BEH+∠B=90°，
∴EH⊥BD，
即ME⊥BD；
（4）作OP⊥AC于P，連接OA、OC、OB、OD，如圖4，
∵OP⊥AC，ON⊥BD，
∴∠AOP=

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2

∠AOC，AP=CP，∠DON=

1

2

∠BOD，
由（2）得∠AOC+∠BOD=180°，
∴∠AOP+∠DON=

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2

（∠AOC+∠BOD）=90°，
而∠AOP+∠OAP=90°，
∴∠OAP=∠DON，
在△OAP和△DON中，

∠OPA=∠DNO ∠OAP=∠DON OA=DO

，
∴△OAP≌△DON（AAS），
∴AP=ON，
∴AP=PC=ON，
∴ON=

1

2

AC．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；會運用三角形全等的知識解決線段相等的問題．