Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，3），動(dòng)圓D經(jīng)過(guò)A、O，分別與兩坐標(biāo)軸的正半軸交于點(diǎn)E、F．當(dāng)EF⊥OA時(shí)，此時(shí)EF=$\frac{125}{24}$．

Answer 1

分析 作出輔助線，利用兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算出OA，根據(jù)圓周角定理得到EF為⊙D的直徑，再根據(jù)垂徑定理得到CO的值，設(shè)OE=t，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于t的方程，進(jìn)而計(jì)算出CE的值，設(shè)⊙D的半徑為r，則OD=r，利用勾股定理得出關(guān)于t的方程，解出r的值即可．

解答 解：連接AE、OD，作AB⊥x軸于B，OA與EF垂直于C，如圖1，
∵A（4，3），
∴OA=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵∠EOF=90°，
∴EF為⊙D的直徑，
∵EF⊥OA，
∴CO=AC=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{5}{2}$，
∴EO=EA，
設(shè)OE=t，則AE=t，BE=4-t，
在Rt△ABE中，AB=3，
∵AB²+BE²=AE²，
∴3²+（4-t）²=t²，解得t=$\frac{25}{8}$，
在Rt△OEC中，CE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{C}^{2}}$=$\frac{15}{8}$，
在Rt△OCD中，設(shè)⊙D的半徑為r，則OD=r，CD=r-$\frac{15}{8}$，
∵DC²+OC²=OD²，
（r-$\frac{15}{8}$）²+（$\frac{5}{2}$）²=r²，解得r=$\frac{125}{48}$，
∴EF=2r=$\frac{125}{24}$；
故答案為$\frac{125}{24}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．