Question

19．如圖，直線y=-x+1與y軸交于點A，與x軸交于點D，與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的圖象交于點B，過點B作BC⊥x軸交于點C，且CO=2AO，直線DE⊥x軸，且DE=AO，過點B作BF⊥BE交x軸于點F．
（1）求F點的坐標(biāo)；
（2）設(shè)P為反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的圖象上一點，過點P作PQ∥y軸交直線y=-x+1于點Q，連接AP、AQ．若S_△APQ=2，求點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線y=-x+1先求得A的坐標(biāo)，進(jìn)而求得C、E的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得B的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法求得直線BE的斜率，根據(jù)BF⊥BE設(shè)出直線BF的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+b，把B的坐標(biāo)代入求得解析式，令y=0求得F的坐標(biāo)；
（2）分兩種情況表示出PQ的長，然后根據(jù)三角形面積公式即可列出方程，解方程即可求得Q點的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵直線y=-x+1與y軸交于點A，與x軸交于點D，
∴A（0，1），D（1，0），
∵CO=2AO，DE=AO，
∴CO=2，DE=1，
∴C的橫坐標(biāo)為-2，E（1，-1），
代入y=-x+1得，y=3，
∴B（-2，3），
設(shè)直線BE的解析式為y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=3}\\{m+n=-1}\end{array}\right.$，解得m=-$\frac{4}{3}$，
∵BF⊥BE，
∴設(shè)直線BF的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+b，
代入B的坐標(biāo)得，3=$\frac{3}{4}$×（-2）+b，解得b=$\frac{9}{2}$，
∴直線BF的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$，
令y=0，解得x=-6，
∴F（-6，0）；
（2）①若-2＜x＜0時，設(shè)Q（t，-t+1），則$P（t，-\frac{6}{t}）$，
∴$PQ=-\frac{6}{t}+t-1$，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$（-$\frac{6}{t}$+t-1）×（-t）=2，
解得t=2（舍去），或t=-1，
∴Q（-1，2）；
②若x＜-2時，$PQ=-t+1+\frac{6}{t}$，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$（-t+1+$\frac{6}{t}$）×（-t）=2，
解得t=$\frac{1+\sqrt{41}}{2}$（舍去），或t=$\frac{1-\sqrt{41}}{2}$，
∴Q（$\frac{1-\sqrt{41}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{41}}{2}$），
綜上，點Q的坐標(biāo)為（-1，2）或（$\frac{1-\sqrt{41}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{41}}{2}$）．

點評 此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，三角形面積以及分類討論思想的運(yùn)用．