Question

數(shù)學(xué)活動(dòng)﹣求重疊部分的面積

（1）問題情境：如圖①，將頂角為120°的等腰三角形紙片（紙片足夠大）的頂點(diǎn)P與等邊△ABC的內(nèi)心O重合，已知OA=2，則圖中重疊部分△PAB的面積為　　．

（2）探究1：在（1）的條件下，將紙片繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖②所示位置，紙片兩邊分別與AC，AB交于點(diǎn)E，F(xiàn)，圖②中重疊部分的面積與圖①重疊部分的面積是否相等？如果相等，請給予證明；如果不相等，請說明理由．

（3）探究2：如圖③，若∠CAB=α（0°＜α＜90°），AD為∠CAB的角平分線，點(diǎn)P在射線AD上，且AP=2，以P為頂點(diǎn)的等腰三角形紙片（紙片足夠大）與∠CAB的兩邊AC，AB分別交于點(diǎn)E、F，∠EPF=180°﹣α，求重疊部分的面積．（用α或的三角函數(shù)值表示）

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)O作ON⊥AB，垂足為N，如圖①，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠CAB=∠CBA=60°．

∵點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心

∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠CBA．

∴∠OAB=∠OBA=30°．

∴OB=OA=2．

∵ON⊥AB，

∴AN=NB，PN=1．

∴AN=

∴AB=2AN=2．

∴S_△OAB=AB•PN=．

故答案為：．

（2）圖②中重疊部分的面積與圖①重疊部分的面積相等．

證明：連接AO、BO，如圖②，

由旋轉(zhuǎn)可得：∠EOF=∠AOB，則∠EOA=∠FOB．

在△EOA和△FOB中，

∴△EOA≌△FOB．

∴S_{四邊形AEOF}=S_△OAB．

∴圖②中重疊部分的面積與圖①重疊部分的面積相等．

（3）在射線AB上取一點(diǎn)G，使得PG=PA，過點(diǎn)P作PH⊥AF，垂足為H，如圖③，

則有AH=GH=AG．

∵∠CAB=α，AD為∠CAB的角平分線，

∴∠PAE=∠PAF=∠CAB=．

∵PG=PA，

∴∠PGA=∠PAG=．

∴∠APG=180°﹣α．

∵∠EPF=180°﹣α，

∴∠EPF=∠APG．

同理可得：S_{四邊形AEPF}=S_△PAG．

∵AP=2，

∴PH=2sin，AH=2cos．

∴AG=2AH=4cos．

∴S_△PAG=AG•PH=4sincos．

∴重疊部分得面積為：S_面積=4sincos．