Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝a（x﹣1）（x﹣5）（a＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于P點，過其頂點C作直線CH⊥x軸于點H．

（1）若∠APB＝30°，請直接寫出滿足條件的點P的坐標；

（2）當∠APB最大時，請求出a的值；

（3）點P、O、C、B能否在同一個圓上？若能，請求出a的值，若不能，請說明理由．

（4）若a＝ ，在對稱軸HC上是否存在一點Q，使∠AQP＝∠ABP？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點P坐標為（0，）或（0，）；（2）；（3）能，a的值為；（4）點Q坐標為（3，3+）或（3，3﹣）．

【解析】

（1）作△PAB的外接圓⊙D，連接DP、DA、DB，證△ABD是等邊三角形，求A（1，0），B（5，0），得DP＝DA＝AB＝4，H（3，0），得直線CH：x＝3，求出D（3，2）

設(shè)P（0，p）（p＞0），由PD2＝32+（2﹣p）2＝42，求出P的坐標；（2）作△PAB的外接圓⊙E，連接EP、EA、EB，如圖2，由切線性質(zhì)，得四邊形OHEP是矩形，在Rt△AEH中，EH＝，求出0P得點P坐標為（0，），代入拋物線解析式可得；（3）連接PB，取PB中點F，連接FO、FC，證點P、O、B在以點F為圓心、FB的長為半徑的圓上，若點C在⊙F上，則FC＝FB，由拋物線解析式y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝ax2﹣6ax+5a＝a（x﹣3）2﹣4a，得P（0，5a），C（3，﹣4a），再求F坐標，由，得，解方程可得；（4）作△PAB的外接圓⊙G，連接GP、GA，設(shè)⊙G與直線CH交于點Q，得∠AQP＝∠ABP，當a＝時，點P（0，1），設(shè)G（3，b）（b＞0），由GP＝GA，得32+（b﹣1）2＝（3﹣1）2+b2，進一步得G（3，3），GQ＝GA＝，可得點Q坐標有兩種可能．

解：（1）作△PAB的外接圓⊙D，連接DP、DA、DB，如圖1

∴DP＝DA＝DB，

∵C為拋物線頂點且CH⊥x軸

∴CH為拋物線對稱軸，即CH垂直平分AB

∴D在直線CH上

∵∠APB＝30°

∴∠ADB＝2APB＝60°

∴△ABD是等邊三角形

∵當y＝0時，a（x﹣1）（x﹣5）＝0 解得：x1＝1，x2＝5

∴A（1，0），B（5，0）

∴DP＝DA＝AB＝4，H（3，0），直線CH：x＝3

∴AH＝2，DH＝AH＝2

∴D（3，2）

設(shè)P（0，p）（p＞0）

∴PD2＝32+（2﹣p）2＝42

解得：p1＝，p2＝

∴點P坐標為（0，）或（0，）

（2）作△PAB的外接圓⊙E，連接EP、EA、EB，如圖2

∵∠AEB＝2∠APB

∴∠AEB最大時，∠APB最大

∵AB＝4是定值

∴EH最小時，∠AEB最大，此時⊙E與y軸相切于點P

∴EP⊥y軸于P

∴四邊形OHEP是矩形

∴PE＝OH＝3

∴EA＝PE＝3

∴Rt△AEH中，EH＝

∴OP＝EH＝

∴點P坐標為（0，），代入拋物線解析式得：5a＝

∴a＝

（3）點P、O、C、B能在同一個圓上．

連接PB，取PB中點F，連接FO、FC

∵∠POB＝90°

∴OF＝PF＝FB＝PB

∴點P、O、B在以點F為圓心、FB的長為半徑的圓上

若點C在⊙F上，則FC＝FB

∵拋物線解析式y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝ax2﹣6ax+5a＝a（x﹣3）2﹣4a

∴P（0，5a），C（3，﹣4a）

∵B（5，0），F為PB中點

∴F

∴

∴

解得：a1＝，a2＝﹣（舍去）

∴a的值為

（4）對稱軸HC上存在一點Q，使∠AQP＝∠ABP

作△PAB的外接圓⊙G，連接GP、GA，設(shè)⊙G與直線CH交于點Q

∴∠AQP＝∠ABP

當a＝時，點P（0，1）

設(shè)G（3，b）（b＞0）

∴GP2＝32+（b﹣1）2，GA2＝（3﹣1）2+b2

∵GP＝GA

∴32+（b﹣1）2＝（3﹣1）2+b2

解得：b＝3

∴G（3，3），GQ＝GA＝

∴點Q坐標為（3，3+ ）或（3，3﹣）．