Question

14、如圖，已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB＜1，以AB為一邊在圓O內(nèi)作正△ABC，點(diǎn)D為圓O上不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且DB=AB，DC的延長線交圓O于點(diǎn)E，試探究AE的長是否為定值（不隨AB長度的變化而變化）？若為定值，求出這個(gè)定值；若不為定值，試確定AE與AB長之間的關(guān)系．

AE=AB

Answer 1

分析：根據(jù)四點(diǎn)共圓的性質(zhì)得到四邊形的對角互補(bǔ)，然后根據(jù)等邊三角形的內(nèi)角的度數(shù)進(jìn)一步得到△EAC與△OAB全等進(jìn)而確定兩對應(yīng)線段的關(guān)系．

解答：解：由ABDE四點(diǎn)共圓，
∴∠EAB+∠ODB=180°，
∵BC=BD，∠BDC=∠BCD，∠BCD+∠ECB=180°，
∴∠ECB=∠EAB
又∵∠CAB=∠ACB=60°
∴∠ECB-∠ACB=∠EAB-∠CAB，
∴∠ECA=∠EAC，
∴△EAC是等腰三角形，
∵AB=BD，
∴∠OEA=∠DOB，
∵AC=AB，
∴△EAC≌△OAB，
∴AE=AB．

點(diǎn)評：本題考查了四點(diǎn)共圓、三角形全等的判定及圓心角圓周角之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)得到全等三角形，進(jìn)而確定兩線段的關(guān)系．