【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A(﹣1,0),B(5,0)兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在第二象限內(nèi)取一點(diǎn)C,作CD垂直X軸于點(diǎn)D,鏈接AC,且AD=5,CD=8,將Rt△ACD沿x軸向右平移m個(gè)單位,當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí),求m的值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)點(diǎn)C第一次落在拋物線上記為點(diǎn)E,點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn).試探究:在拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)B、E、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A(﹣1,0),B(5,0)兩點(diǎn),
∴ ,解得 ,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x+5;
(2)
解:∵AD=5,且OA=1,
∴OD=6,且CD=8,
∴C(﹣6,8),
設(shè)平移后的點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′,則C′點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8,
代入拋物線解析式可得8=﹣x2+4x+5,解得x=1或x=3,
∴C′點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,8)或(3,8),
∵C(﹣6,8),
∴當(dāng)點(diǎn)C落在拋物線上時(shí),向右平移了7或9個(gè)單位,
∴m的值為7或9;
(3)
解:∵y=﹣x2+4x+5=﹣(x﹣2)2+9,
∴拋物線對(duì)稱軸為x=2,
∴可設(shè)P(2,t),
由(2)可知E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,8),
①當(dāng)BE為平行四邊形的邊時(shí),連接BE交對(duì)稱軸于點(diǎn)M,過(guò)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F,當(dāng)BE為平行四邊形的邊時(shí),過(guò)Q作對(duì)稱軸的垂線,垂足為N,如圖,
則∠BEF=∠BMP=∠QPN,
在△PQN和△EFB中
∴△PQN≌△EFB(AAS),
∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4,
設(shè)Q(x,y),則QN=|x﹣2|,
∴|x﹣2|=4,解得x=﹣2或x=6,
當(dāng)x=﹣2或x=6時(shí),代入拋物線解析式可求得y=﹣7,
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,﹣7)或(6,﹣7);
②當(dāng)BE為對(duì)角線時(shí),
∵B(5,0),E(1,8),
∴線段BE的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4),則線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,4),
設(shè)Q(x,y),且P(2,t),
∴x+2=3×2,解得x=4,把x=4代入拋物線解析式可求得y=5,
∴Q(4,5);
綜上可知Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣2,﹣7)或(6,﹣7)或(4,5).
【解析】(1)由A、B的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式;(2)由題意可求得C點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)平移后的點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′,則C′點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8,代入拋物線解析式可求得C′點(diǎn)的坐標(biāo),則可求得平移的單位,可求得m的值;(3)由(2)可求得E點(diǎn)坐標(biāo),連接BE交對(duì)稱軸于點(diǎn)M,過(guò)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F,當(dāng)BE為平行四邊形的邊時(shí),過(guò)Q作對(duì)稱軸的垂線,垂足為N,則可證得△PQN≌△EFB,可求得QN,即可求得Q到對(duì)稱軸的距離,則可求得Q點(diǎn)的橫坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得Q點(diǎn)坐標(biāo);當(dāng)BE為對(duì)角線時(shí),由B、E的坐標(biāo)可求得線段BE的中點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)Q(x,y),由P點(diǎn)的橫坐標(biāo)則可求得Q點(diǎn)的橫坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是菱形,對(duì)角線AC=8cm,BD=6cm,DH⊥AB于點(diǎn)H,且DH與AC交于G,則GH=( )
A. cm
B. cm
C. cm
D. cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知在△ABC中,∠B=90°,AB=8cm,BC=6cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿△ABC的邊做逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),且速度為每秒1cm;點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿△ABC的邊做逆時(shí)針運(yùn)動(dòng),且速度為每秒2cm,他們同時(shí)出發(fā),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)出發(fā)2秒后,P,Q兩點(diǎn)間的距離為多少cm?
(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△PQB能形成等腰三角形嗎?若能,請(qǐng)求出幾秒后第一次形成等腰三角形;若不能,則說(shuō)明理由.
(3)出發(fā)幾秒后,線段PQ第一次把△ABC的周長(zhǎng)分成相等兩部分?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】規(guī)定:[x]表示不大于x的最大整數(shù),(x)表示不小于x的最小整數(shù),[x)表示最接近x的整數(shù)(x≠n+0.5,n為整數(shù)),例如:[2.3]=2,(2.3)=3,[2.3)=2.則下列說(shuō)法正確的是 . (寫出所有正確說(shuō)法的序號(hào)) ①當(dāng)x=1.7時(shí),[x]+(x)+[x)=6;
②當(dāng)x=﹣2.1時(shí),[x]+(x)+[x)=﹣7;
③方程4[x]+3(x)+[x)=11的解為1<x<1.5;
④當(dāng)﹣1<x<1時(shí),函數(shù)y=[x]+(x)+x的圖象與正比例函數(shù)y=4x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n的長(zhǎng)方形,沿圖中虛線用剪刀平均分成4 個(gè)小長(zhǎng)方形,然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形.
(1)圖2中陰影部分的面積為 ;
(2)觀察圖2,請(qǐng)你寫出式子(m+n)2,(m-n)2,mn之間的等量關(guān)系: ;
(3)若x+y=-6,xy=2.75,求x-y的值
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,給出以下四個(gè)結(jié)論:①abc=0,②a+b+c>0,③a>b,④4ac﹣b2<0;其中正確的結(jié)論有( )
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知∠BOP與OP上點(diǎn)C,點(diǎn)A(在點(diǎn)C的右邊),李玲現(xiàn)進(jìn)行如下操作:①以點(diǎn)O為圓心,OC長(zhǎng)為半徑畫弧,交OB于點(diǎn)D;②以點(diǎn)A為圓心,OC長(zhǎng)為半徑畫弧MN,交OA于點(diǎn)M;③以點(diǎn)M為圓心,CD長(zhǎng)為半徑畫弧,交弧MN于點(diǎn)E,作射線AE,操作結(jié)果如圖所示,下列結(jié)論不能由上述操作結(jié)果得出的是( ).
A. ∠ACD=∠EAP B. ∠ODC=∠AEM C. OB∥AE D. CD∥ME
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】分解因式x2-4y2-2x+4y,細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn),前兩項(xiàng)符合平方差公式,后兩項(xiàng)可提取公因式,前后兩部分分別分解因式后會(huì)產(chǎn)生公因式,然后提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式,過(guò)程為:x2-4y2-2x+4y=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2).這種分解因式的方法叫分組分解法,利用這種方法解決下列問(wèn)題:
(1)分解因式:a2-4a-b2+4;
(2)若△ABC三邊a、b、c滿足a2-ab-ac+bc=0,試判斷△ABC的形狀.
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【題目】“小組合作學(xué)習(xí)”成為我區(qū)推動(dòng)課堂教學(xué)改革,打造自主高效課堂的重要舉措.某中學(xué)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取100人作為樣本,對(duì)“小組合作學(xué)習(xí)”實(shí)施前后學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣變化情況進(jìn)行調(diào)查分析,統(tǒng)計(jì)如下:
請(qǐng)結(jié)合圖中信息解答下列問(wèn)題:
(1)小組合作學(xué)習(xí)前學(xué)生學(xué)習(xí)興趣為“高”的所占的百分比為;
(2)補(bǔ)全小組合作學(xué)習(xí)后學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的統(tǒng)計(jì)圖;
(3)通過(guò)“小組合作學(xué)習(xí)”前后學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的對(duì)比,請(qǐng)你估計(jì)全校2000名學(xué)生中學(xué)習(xí)興趣獲得提高的學(xué)生有多少人?
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