Question

17．已知，點P是等邊△ABC內(nèi)一點，PA=4，PB=3，PC=5．線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，連接PQ．
（1）求PQ的長．
（2）求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AP=AQ，然后可證明△APQ為等邊三角形，從而可求得PQ的長；
（2）先依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明△APB≌△AQC，從而得到QC的長，然后依據(jù)勾股定理的逆定理證明△PQC為直角三角形，故此可求得∠AQC的度數(shù)，從而得到∠APB的度數(shù)．

解答 解：（1）∵AP=AQ，∠PAQ=60°
∴△APQ是等邊三角形，
∴PQ=AP=4．
（2）連接QC．

∵△ABC、△APQ是等邊三角形，
∴∠BAC=∠PAQ=60°，
∴∠BAP=∠CAQ=60°-∠PAC．
在△ABP和△ACQ中$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAP=∠CAQ}\\{AP=AQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ACQ．
∴BP=CQ=3，∠APB=∠AQC，
∵在△PQC中，PQ²+CQ²=PC²
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°
∵△APQ是等邊三角形，
∴∠AQP=60°
∴∠APB=∠AQC=60°+90°=150°．

點評 本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，證得△PQC為直角三角形是解題的關(guān)鍵．