Question

20．拋物線y=x²+bx+c交x軸于A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，PE⊥BC于E，且CE=3PE，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點(diǎn)代入，根據(jù)待定系數(shù)法即可解決．
（2）圖，取點(diǎn)M（4，1），連接AM，CM，CM交拋物線于P₁，作MF⊥AB于F，只要證明點(diǎn)P₁滿足條件，求出直線CM與拋物線的交點(diǎn)即可，再根據(jù)對稱性求出點(diǎn)P₂．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c交x軸于A（1，0），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3．
（2）如圖，取點(diǎn)M（4，1），連接AM，CM，CM交拋物線于P₁，作MF⊥AB于F，
在△ACO和△MAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=AF}\\{∠AOC=∠AFM}\\{OA=MF}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△MFA，
∴AC=AM，∠ACO=∠MAF，
∵∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠CAO+∠MAF=90°，
∴∠CAM=90°，∴∠ACM=∠AMC=45°，
∵OC=OB，∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
∴∠OCB=∠ACM，
∴∠ACO=∠BCM
∴tan∠ACO=tan∠BCM=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{1}{3}$，
∴CE=3P₁E，
∵直線CM為：y=-$\frac{1}{2}x+3$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+3}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{2}}\\{y=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P₁（$\frac{7}{2}$，$\frac{5}{4}$），
∵點(diǎn)M關(guān)于BC的對稱點(diǎn)N（2，-1），
∴∠MCB=∠NCB，
∴直線CN與拋物線的交點(diǎn)P₂也是符合條件的，
∵點(diǎn)N在拋物線上，
∴P₂與N重合，
∴P₂（2，-1），
綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-1）或（$\frac{7}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線由x軸的交點(diǎn)，學(xué)會(huì)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，添加輔助線構(gòu)造等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考?jí)狠S題．