Question

8．如圖，B為線段AD上一點(diǎn)，△ABC和△BDE都是等邊三角形，連接CE并延長，交AD的延長線于F，△ABC的外接圓⊙O交CF于點(diǎn)M．
（1）求證：BE是⊙O的切線；
（2）求證：AC²=CM•CF．

Answer 1

分析 （1）連接OB，只要證明∠OBE=90°即可求解；
（2）連接MB，易證∠CMB=∠CBF，則可以得到△CMB∽△CBF，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等即可得證．

解答 解：（1）連結(jié)OB，
∵△ABC和△BDE都是等邊三角形，
∴∠ABC=∠EBD=60°，
∴∠CBE=60°，∠OBC=30°，
∴∠OBE=90°，
∴BE是⊙O的切線；

（2）連結(jié)MB，則∠CMB=180°-∠A=120°
∵∠CBF=60°+60°=120°
∴∠CMB=∠CBF
∵∠BCM=∠FCB
∴△CMB∽△CBF
∴$\frac{CM}{CB}=\frac{CB}{CF}$，即CB²=CM•CF，
∵AC=CB
∴AC²=CM•CF．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．