Question

如圖，AB是⊙O的直徑，CM是⊙O的切線，切點(diǎn)為C，延長(zhǎng)AB交CD于點(diǎn)E，連接AC，在射線CM上取一點(diǎn)D使DA=DC，作AF⊥ED于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G，
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）如果⊙O的半徑是4cm，EC=4

3

cm，求陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì),扇形面積的計(jì)算

專題：

分析：（1）連接OC．欲證AD是⊙O的切線，只需證明OA⊥AD即可；
（2）連接OG．在Rt△CEO中利用正切函數(shù)求得∠E=30°，從而求得∠EOC=60°；然后由圓周角定理求得∠OAC=30°，從而求得∠ACD=60°，得出△ACD是等邊三角形，根據(jù)題意證得OC∥AF，得出∠OAG=60°，進(jìn)一步證得△AOG是等邊三角形，進(jìn)而求得∠COG=60°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得OE=2OC=8，進(jìn)而得出EA=12，從而求得AF=6，EF=6

3

最后根據(jù)S_陰影=S_△AEF-S_△OEC-S_△AOG-S_扇形COG即可求得．

解答：（1）證明：∵CM是⊙O的切線，
∴∠OCD=90°．
∴∠OCA+∠ACD=90°．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∵DA=DC，
∴∠DAC=∠ACD，
∵∠OCA+∠DAC=90°
∴∠0AC+∠CAD=90°．
∴∠OAD=90°．
∴AD是⊙O的切線．

（2）解：連接OG；
∵OC=4cm，EC=4

3

cm，
∴在Rt△CEO中，tanE=

OC

EC

=

3

3

，
∴∠E=30°．
∴∠EOC=60°，OE=2OC=8，
∴∠AOC=120°，AE=OE+OA=12，
∴AF=

1

2

AE=6，
∴EF=

AE2-AF2

=6

3

，
∵OA=OC，∠AOC=120°，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠ACD=60°，
∵DA=DC，
∴△ACD是等邊三角形，
∵AF⊥ED，OC⊥ED，
∴OC∥AF，
∴∠EAF=60°，
∵OA=OG，
∴△AOG是等邊三角形，
∴∠AOG=60°，
∴∠COG=60°，
∴S_陰影=S_△AEF-S_△OEC-S_△AOG-S_扇形COG=

1

2

EF•AF-

1

2

EC•OC-

1

2

OA•

3

2

OA-

60π•OA2

360

=

1

2

×6

3

×6-

1

2

×4

3

×4-

1

2

×4×

3

2

×4-

60π×42

360

=6

3

-

8

3

π．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．