Question

如圖，梯形ABCD中AB∥CD，∠DAB=90°，AB=4CD，E是腰BC上一點，CE=CD，過點E作EF⊥BC交AD于點F，若F是AD的中點，則下列結論：
①AE⊥DE；②AB=AD；③tan∠EFD=

4

3

；④S_△ABE=16S_△CDE；
其中正確結論的個數(shù)是（　　）

• A、4個
• B、3個
• C、2個
• D、1個

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：壓軸題

分析：連結CF、BF，作CG⊥AB于G，過點E作PH垂直于AB于P，交DC的延長線于點H．由條件可以得出Rt△CDF≌Rt△CEF，Rt△BEF≌Rt△BAF，就可以得出△AED是直角三角形，得出AE⊥DE，AB=BE，在Rt△BGC中由勾股定理就可以求出CG=4CD，得出AD=AB，根據(jù)∠EFD=∠ABC，就可以求得tan∠EFD=

4

3

，利用△ECH∽△EBP，就可以得出EH：EP=1：4，根據(jù)三角形的面積公式就可以求出S_△ABE=16S_△CDE從而得出結論．

解答：解：連結CF、BF，作CG⊥AB于G，過點E作PH垂直于AB于P，交DC的延長線于點H．
∴∠CGA=∠CGB=∠HPB=90°．
∵AB∥CD，∠DAB=90°，
∴∠DCG=90°，△ECH∽△EBP，
∴四邊形ADCG是矩形，

HE

PE

=

CE

BE

．
∴∠ADC=90°，CD=AG，CG=AD．
∵EF⊥BC，
∴∠CEF=∠BEF=90°．
∵在Rt△CDF和Rt△CEF中，

CF=CF DC=EC

，
Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），
∴FD=FE．
∵F是AD的中點，
∴DF=AF．
∴EF=DF=AF=

1

2

AD，
∴△AED為直角三角形，
∴AE⊥DE．本答案正確．
∵在Rt△BEF和Rt△BAF中

EF=AF BF=BF

，
∴Rt△BEF≌Rt△BAF（HL），
∴AB=EB=4CD．
∴BC=5CD．
∵AB=4CD，
∴GB=3CD．
在Rt△GCB中，由勾股定理得
CG=4CD，
∴AD=4CD．
∴AD=AB．本答案正確．
∵

HE

PE

=

CE

BE

，
∴

HE

PE

=

CD

4CD

=

1

4

，
∴PE=4HE．
∵S_△DEC=

CD•EH

2

，S_△ABE=

AB•PE

2

=

4CD•4HE

2

=8CD．HE，
∴

S△DEC

S△ABE

=

CD•EH 2

8CD．HE

=

1

16

，
∴S_△ABE=16S_△CDE；本答案正確．
∵∠EDF+∠AFE=180°，∠ABC+∠AFE=180°，
∴∠EDF=∠ABC，
∴tan∠EFD=tan∠ABC=

CG

GB

=

4

3

，本答案正確．
故選A．

點評：本題考查了直角梯形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，勾股定理的運用，相似三角形的判定及性質的運用，三角形的面積公式的運用，三角函數(shù)的運用，直角三角形的判定及性質的運用．解答時正確做出輔助線是解答本題的關鍵．