Question

如圖，直線OP：y=

5

12

x上有一個動點A，過A作AB⊥x軸于B，AC⊥y軸于C，翻折∠ABO與∠ACO，使點B，C分別落在OA上點E，G處，折痕分別為AD和OF．
（1）判斷四邊形AFOD是什么特殊四邊形，并說明理由；
（2）當(dāng)點A在直線OP上運動時，直線y=kx+b經(jīng)過點D和F，試判斷k與b是否為定值？若不是，說明理由；若是，求出k與b的值．

Answer 1

分析：（1）四邊形ABOC是矩形，則AC∥OB，根據(jù)折疊的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)可以得到：∠GOF=∠EAD，則OF∥AD，因而可以證得四邊形AFOD是平行四邊形；
（2）設(shè)出A的坐標(biāo)，利用勾股定理求得F、D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得k，b的值．

解答：解：（1）∵AB⊥x軸于B，AC⊥y軸于C，OC⊥OB，
∴四邊形ABOC是矩形，
∴OC∥AB，
∴∠AOC=∠OAB，
又∵∠COF=∠GOF，∠EAD=∠BAD，
∴∠GOF=∠EAD，
∴OF∥AD，
又∵矩形ABOC中，AC∥OB，
∴四邊形AFOD是平行四邊形；
（2）作FH⊥x軸于點H，交OA于I，則OC∥FH，
設(shè)A的橫坐標(biāo)是12a，則縱坐標(biāo)是5a，則OC=AB=5a，AC=OB=12a，
設(shè)I的橫坐標(biāo)是12b，則縱坐標(biāo)是5b，則OH=CF=12b，IH=5b，則OI=

OH2+IH2

=13b．
∵OC∥FH，
∴∠COF=∠OFH，
又∵∠COF=∠GOF，
∴∠GOF=∠OFH，
∴IF=OI=13b，
∴IF+IH=13b+5b=FH=5a，
則b=

5

18

a，OH=12b=

10

3

a，則F的坐標(biāo)是（

10

3

a，5a）；
DB=OH=

10

3

a，
∴OD=12a-

10

3

a=

26

3

a，
則D的坐標(biāo)是（

26

3

a，0）．
把F、D的坐標(biāo)代入y=kx+b得：

10 3 ak+b=5a 26 3 ak+b=0

，
解得：

k=- 15 16 b= 65 8 a

．
故k的值是定值，是-

15

16

，b的值不是定值．

點評：本題是勾股定理、一次函數(shù)，矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定的綜合應(yīng)用，表示出F的坐標(biāo)是關(guān)鍵．