【題目】課題學(xué)習(xí)
問題背景1 甲、乙、丙三名同學(xué)探索課本上一道題:如圖1,E是邊長為a的正方形ABCD中CD邊上任意一點,以點A為中心,把△ADE順時針旋轉(zhuǎn)90°,
(1)①在圖1中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形;②圖1中,與線段AE垂直的線段是 ,說明你的理由;
問題背景2 在正方形ABCD中,∠EAF=45°,點F為BC上一點,點E為DC上一點,∠EAF的兩邊AE、AF分別與直線BD交于點M、N.連接EF。繼續(xù)探索時,
甲發(fā)現(xiàn):線段BF,EF,DE之間存在著關(guān)系式EF=BF+DE;
乙發(fā)現(xiàn):△CEF的周長是一個恒定不變的值;
丙發(fā)現(xiàn):線段BN,MN,DM之間存在著關(guān)系式BN2+DM2=MN2
(2)請你對甲、乙、兩三人中一個結(jié)論進(jìn)行研究,作出判斷,并說明你的理由。
【答案】(1) ①作圖見解析;②AK⊥AE,理由見解析;(2) 甲、乙、丙三名同學(xué)的發(fā)現(xiàn)都是正確的.理由見解析.
【解析】試題分析: (1)根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)前后所構(gòu)成的兩圖形全等畫出圖形即可;
(2)①選擇甲,延長CB到K,使BK=DE,連AK,由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△AKB≌△AED,可得出∠KAF=∠FAE,進(jìn)而可得出△AKF≌△AEF,由全等三角形的性質(zhì)及BK=DE可得出EF=BF+DE;
②選擇乙,延長CB到K,使BK=DE,連AK,由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△AKB≌△AED,由全等三角形的性質(zhì)可得到△AKF≌△AEF,再根據(jù)BK=DE即可得出△CEF周長為定值;
③選擇丙,在AK上截取AG=AM,連接BG,GN,由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABG≌△ADM,△GAN≌△NAM,再由勾股定理即可得出BN2+DM2=MN2.
試題解析:
畫圖如圖1,
延長CB至K,使BK=DE,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠ADE=∠ABK=∠BAD=90,
∴△ADE≌△ABK,
∴∠DAE=∠BAK,
∴∠EAK=∠BAK+∠BAE=∠DAK+∠BAE=∠BAD=90,
∴AK⊥AE.
故答案為AK⊥AE.
(2)選擇甲發(fā)現(xiàn):
證明:如圖2,
延長CB到K,使BK=DE,連AK,則△AKB≌△AED,
∵∠BAF+∠DAE=45°,
∴∠KAF=45°,
∴∠KAF=∠FAE.
∵AK=AE,AF=AF,
∴△AKF≌△AEF.
∴KF=EF.
又∵BK=DE,
∴EF=BF+DE
選擇乙發(fā)現(xiàn):
證明:如圖2,
延長CB到K,使BK=DE,連AK,則△AKB≌△AED
∵∠BAF+∠DAE=45°,
∴∠KAF=45°,
∴∠KAF=∠FAE.
∵AK=AE,AF=AF,
∴△AKF≌△AEF.
∴KF=EF.
又∵BK=DE,
∴EF=BF+DE
△CEF周長=CF+CE+EF=CF+CE+(BF+DE)=(CF+BF)+(CE+DE)=BC+DC=2a(定值)
選擇丙發(fā)現(xiàn):
證明:如圖3,
在AK上截取AG=AM,連接BG,GN.
∵AG=AM,AB=AD,∠KAB=∠EAD,
∴△ABG≌△ADM,
∴BG=DM,∠ABG=∠ADB=45°.
又∵∠ABD=45°,
∴∠GBD=90°.
∵∠BAF+∠DAE=45°,
∴∠KAF=45°,
∴∠KAF=∠FAE.
又∵AG=AM,AN=AN,
∴△GAN≌△NAM.
∴NG=MN,
∵∠GBD=90°,
∴BG +BN =NG ,
∴BN +DM =MN .
綜上所述:甲、乙、丙三名同學(xué)的發(fā)現(xiàn)都是正確的。
點睛:本題考查的是圖形的旋轉(zhuǎn),通過旋轉(zhuǎn),利用全等三角形,發(fā)現(xiàn)邊的關(guān)系,再利用直角三角形的勾股定理找到三條線段的平方關(guān)系,利用構(gòu)造法證明△AKF≌△AEF, △GAN≌△NAM是解答此題的關(guān)鍵.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,點O在對角線AC上,以O(shè)A的長為半徑的圓O與AD、AC分別交于點E、F,且∠ACB=∠DCE.
(1)判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)若tan∠ACB=,BC=2,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列各式從左到右的變形,是因式分解的是( )
A.x2﹣9+6x=(x+3)(x﹣3)+6x
B.(x+5)(x﹣2)=x2+3x﹣10
C.x2﹣8x+16=(x﹣4)2
D.6ab=2a3b
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某產(chǎn)品的成本兩年降低了75%,平均每年遞降( 。
A. 50% B. 25% C. 37.5% D. 以上答案都不對
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次射擊訓(xùn)練中,甲、乙兩人各射擊 10 次,兩人 10 次射擊成績的平均數(shù)均是 8.9 環(huán),方差分別是 S 甲2=1.7,S 乙 2=1.2,則關(guān)于甲、乙兩人在這次射擊訓(xùn)練中成績穩(wěn)定是___________.(填“甲”或“乙”)
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