【題目】已知橢圓 的離心率為 ,過左焦點F且垂直于x軸的直線與橢圓C相交,所得弦長為1,斜率為k(k≠0)的直線l過點(1,0),且與橢圓C相交于不同的兩點A,B.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)在x軸上是否存在點M,使得無論k取何值, 為定值?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】解:(I)由過左焦點F且垂直于x軸的直線與橢圓C相交,所得弦長為1,
可知橢圓C過點 ,∴ ,
又∵e= = ,a2=b2+c2
三式聯(lián)立解得 ,
∴橢圓的方程為 +y2=1;…(4分)
(II)設在x軸上存在點M(t,0)滿足題意,
∵直線l過點(1,0)且斜率為k,則直線l的方程可設為:y=k(x﹣1);
可知:x2+4k2(x﹣1)2=4,
整理得(1+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣4=0;
易知:△=64k4﹣16(1+4k2)(k2﹣1)=16(3k2+1)>0;
設 A(x1 , y1),B(x2 , y2),
則: ;
=(x1﹣t,y1)(x2﹣t,y2
=(x1﹣t)(x2﹣t)+y1y2
=x1x2﹣t(x1+x2)+t2+k2(x1﹣1)(x2﹣1)
=(1+k2)x1x2﹣(t+k2)(x1+x2)+t2+k2
= ;
由題意可設: =m(m為常數(shù)),
∴k2(4t2﹣8t)+t2﹣4=m+4mk2對任意實數(shù)k(k≠0)恒成立;
,解得:t=2,m=0;
∴存在點M(2,0)滿足題意,且常數(shù)為0.
【解析】(I)由題意知橢圓C過點 ,代入橢圓方程,再由離心率e以及a、b、c的關系列方程組求出a、b即可;(II)設在x軸上存在點M(t,0)滿足題意,設出直線l的方程,與橢圓方程聯(lián)立消去y,利用根與系數(shù)的關系得出x1+x2與x1x2 , 其中A(x1 , y1),B(x2 , y2);再計算 的值,即可求出結論.

練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標系中,⊙M與x軸相切于點A(8,0),與y軸分別交于點B(0,4)和點C(0,16),則圓心M到坐標原點O的距離是( 。

A.10
B.8
C.4
D.2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在三棱錐ABC﹣A1B1C1中,側面ACC1A1與側面CBB1C1都是菱形,∠ACC1=∠CC1B1=60°,AC=2
(1)求證:AB1⊥CC1;
(2)若AB1=3 ,D1為線段A1C1上的點,且三棱錐C﹣B1C1D1的體積為 ,求

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù) .(a為常數(shù),a>0) (Ⅰ)若 是函數(shù)f(x)的一個極值點,求a的值;
(Ⅱ)求證:當0<a≤2時,f(x)在 上是增函數(shù);
(Ⅲ)若對任意的a∈(1,2),總存在 ,使不等式f(x0)>m(1﹣a2)成立,求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知P(x,y)為不等式組 表示的平面區(qū)域M內任意一點,若目標函數(shù)z=5x+3y的最大值等于平面區(qū)域M的面積,則m=

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f (x)=Asin(ωx+φ),(0<φ<π)的圖象如圖所示,若f(x0)=3,x0∈( ),則sinx0的值為(
A.
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知A、B分別在射線CM、CN(不含端點C)上運動,∠MCN= π,在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別是a、b、c.
(Ⅰ)若a、b、c依次成等差數(shù)列,且公差為2.求c的值;
(Ⅱ)若c= ,∠ABC=θ,試用θ表示△ABC的周長,并求周長的最大值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】據某市地產數(shù)據研究院的數(shù)據顯示,2016年該市新建住宅銷售均價走勢如圖所示,為抑制房價過快上漲,政府從8月份采取宏觀調控措施,10月份開始房價得到很好的抑制.
(Ⅰ)地產數(shù)據研究院研究發(fā)現(xiàn),3月至7月的各月均價y(萬元/平方米)與月份x之間具有較強的線性相關關系,試建立y關于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),政府若不調控,依次相關關系預測第12月份該市新建住宅銷售均價;
(Ⅱ)地產數(shù)據研究院在2016年的12個月份中,隨機抽取三個月份的數(shù)據作樣本分析,若關注所抽三個月份的所屬季度,記不同季度的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.
參考數(shù)據: =25, =5.36, =0.64
回歸方程 = x+ 中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:
= , =

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓 為參數(shù)),A,B是C上的動點,且滿足OA⊥OB(O為坐標原點),以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立坐標系,點D的極坐標為
(1)求線段AD的中點M的軌跡E的普通方程;
(2)利用橢圓C的極坐標方程證明 為定值,并求△AOB的面積的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案