Question

17．如圖，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，AH⊥BC于點(diǎn)H．動點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C以每秒2個單位長度的速度運(yùn)動．過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F．點(diǎn)E出發(fā)后，以EF為邊向上作等邊三角形EFG，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動時間為t秒，△EFG和△AHC的重合部分面積為S．
（1）CE=6-2t（含t的代數(shù)式表示）．
（2）求點(diǎn)G落在線段AC上時t的值．
（3）當(dāng)S＞0時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）點(diǎn)P在點(diǎn)E出發(fā)的同時從點(diǎn)A出發(fā)沿A-H-A以每秒2$\sqrt{3}$個單位長度的速度作往復(fù)運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動時，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動，直接寫出點(diǎn)P在△EFG內(nèi)部時t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質(zhì)得出BC=AB=6得出CE=BC-BE=6-2t即可；
（2）由菱形的性質(zhì)和已知條件得出△ABC是等邊三角形，得出∠ACB=60°，由等邊三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)得出∠GEF=60°，GE=EF=BE•sin60°=$\sqrt{3}$t，證出∠GEC=90°，由三角函數(shù)求出CE=$\frac{GE}{tan60°}$=t，由BE+CE=BC得出方程，解方程即可；
（3）分兩種情況：①當(dāng)$\frac{3}{2}$＜t≤2時，S=△EFG的面積-△NFN的面積，即可得出結(jié)果；
②當(dāng)2＜t≤3時，由①的結(jié)果容易得出結(jié)論；
（4）由題意得出t=$\frac{3}{2}$時，點(diǎn)P與H重合，E與H重合，得出點(diǎn)P在△EFG內(nèi)部時，t的不等式，解不等式即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：BE=2t，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=AB=6，
∴CE=BC-BE=6-2t；
故答案為：6-2t；
（2）點(diǎn)G落在線段AC上時，如圖1所示：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∵△EFG是等邊三角形，
∴∠GEF=60°，GE=EF=BE•sin60°=$\sqrt{3}$t，
∵EF⊥AB，
∴∠BEF=90°-60°=30°，
∴∠GEB=90°，
∴∠GEC=90°，
∴CE=$\frac{GE}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}t}{\sqrt{3}}$=t，
∵BE+CE=BC，
∴2t+t=6，
解得：t=2；
（3）分兩種情況：①當(dāng)$\frac{3}{2}$＜t≤2時，如圖2所示：
S=△EFG的面積-△NFN的面積=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\sqrt{3}$t）²-$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$+2$\sqrt{3}$）²=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t²+$\sqrt{3}$t-3$\sqrt{3}$，
即S=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t²+$\sqrt{3}$t-3$\sqrt{3}$；
當(dāng)2＜t≤3時，如圖3所示：
S=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t²+$\sqrt{3}$t-3$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{8}$（3$\sqrt{3}$t-6$\sqrt{3}$）²，
即S=-$\frac{65\sqrt{3}}{24}$t²+$\frac{29\sqrt{3}}{2}$t-$\frac{33\sqrt{3}}{2}$；
（4）∵AH=AB•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$÷2$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，3÷2=$\frac{3}{2}$，
∴t=$\frac{3}{2}$時，點(diǎn)P與H重合，E與H重合，
∴點(diǎn)P在△EFG內(nèi)部時，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\sqrt{3}$＜（t-$\frac{3}{2}$）×2$\sqrt{3}$＜$\sqrt{3}$t-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（2t-3）+$\frac{\sqrt{3}}{3}$（2t-3），
解得：$\frac{3}{2}$＜t＜$\frac{12}{5}$；
即點(diǎn)P在△EFG內(nèi)部時t的取值范圍為：$\frac{3}{2}$＜t＜$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題目，考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、三角形面積的計(jì)算等知識；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，特別是（3）中，需要進(jìn)行分類討論才能得出結(jié)果．