Question

【題目】探究題：已知：如圖,,.求證：.

老師要求學(xué)生在完成這道教材上的題目證明后，嘗試對圖形進(jìn)行變形，繼續(xù)做拓展探究，看看有什么新發(fā)現(xiàn)？

（1）小穎首先完成了對這道題的證明，在證明過程中她用到了平行線的一條性質(zhì)，小穎用到的平行線性質(zhì)可能是 .

（2）接下來，小穎用《幾何畫板》對圖形進(jìn)行了變式，她先畫了兩條平行線，然后在平行線間畫了一點(diǎn)，連接后，用鼠標(biāo)拖動點(diǎn)，分別得到了圖，小穎發(fā)現(xiàn)圖正是上面題目的原型，于是她由上題的結(jié)論猜想到圖和圖中的與之間也可能存在著某種數(shù)量關(guān)系.于是她利用《幾何畫板》的度量與計(jì)算功能，找到了這三個角之間的數(shù)量關(guān)系.

請你在小穎操作探究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)完成下面的問題：

（ⅰ）猜想圖中與之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

（ⅱ）補(bǔ)全圖，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系： .

Answer 1

【答案】（1）兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）（ⅰ），見解析；（ⅱ）見解析，.

【解析】

（1）根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可解決問題；
（2）（ⅰ）猜想∠BDF=∠B+∠F．過點(diǎn)D作CD∥AB．利用平行線的性質(zhì)即可解決問題；
（ⅱ）∠BDF與∠F之間的數(shù)量關(guān)系是∠F=∠B+∠BDF．利用平行線的性質(zhì)已經(jīng)三角形的外角的性質(zhì)即可解決問題；

解：（1）∵AB//CD，

∴∠B+∠BDC=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))，

∵CD//EF(已知)，
∴∠CDF+∠DFE=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))，
∴∠B+∠BDF+∠F=∠B+∠BDC+∠CDF+∠DFE=360°．

故答案為:兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)．

(2)（ⅰ）猜想

證明：過點(diǎn)作，

,

（ⅱ）補(bǔ)全圖形如圖所示：∠B、∠BDF與∠F之間的數(shù)量關(guān)系是∠F=∠B+∠BDF．

理由：∵AB∥EF，
∴∠1=∠F，
∵∠1=∠B+∠D，
∴∠F=∠B+∠BDF．
故答案為∠F=∠B+∠BDF．