Question

（2009•黃石）如圖，△ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．
（1）探究：線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
（2）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形BCFE會(huì)是菱形嗎？若是，請(qǐng)證明；若不是，則說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處，且△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用平行線的性質(zhì)由角相等得出邊相等；
（2）假設(shè)四邊形BCFE，再證明與在同一平面內(nèi)過(guò)同一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾；
（3）利用平行四邊形及等腰直角三角形的性質(zhì)證明四邊形AECF是正方形．
解答：解：（1）OE=OF．
證明如下：
∵CE是∠ACB的平分線，
∴∠1=∠2．
∵M(jìn)N∥BC，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴OE=OC．
同理可證OC=OF．
∴OE=OF．（3分）

（2）四邊形BCFE不可能是菱形，若BCFE為菱形，則BF⊥EC，
而由（1）可知FC⊥EC，在平面內(nèi)過(guò)同一點(diǎn)F不可能有兩條直線同垂直于一條直線．（3分）

（3）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，且△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）時(shí)，四邊形AECF是正方形．
理由如下：
∵O為AC中點(diǎn)，
∴OA=OC，
∵由（1）知OE=OF，
∴四邊形AECF為平行四邊形；
∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，
∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，
∴?AECF為矩形，
又∵AC⊥EF．
∴?AECF是正方形．
∴當(dāng)點(diǎn)O為AC中點(diǎn)且△ABC是以∠ACB為直角三角形時(shí)，四邊形AECF是正方形．（3分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是平行線、角平分線、正方形、平行四邊形的性質(zhì)與判定，涉及面較廣，在解答此類題目時(shí)要注意角的運(yùn)用，一般通過(guò)角判定一些三角形，多邊形的形狀，需同學(xué)們熟練掌握．